结论专题

## 写在前面 最近遇到一些“知道题”，或者是必须有一个基础的数学结论才能继续往下做的题目，故决定整理一下，并适当给出结论的证明。 ## 数字结论/近似计算 #### 平方/立方和公式 $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n i &= C_{n+1}^2 = \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{i=1}^n i^2 &= C_{n+1}^2 +2C_{n+1}^3= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{i=1}^n i^3 &= C_{n+1}^2 +6C_{n+1}^3+6C_{n+1}^4= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{aligned} $$ #### 斯特林公式（Stirling公式） $$ n!\approx \sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n $$ 证明略. 例题： ## 组合数学 #### 基本公式 $$ \begin{aligned} A_n^m &= \frac{n!}{(n-m)!}\\ C_n^m &= \frac{n!}{(n-m)!m!} \end{aligned} $$