复数

· · 算法·理论

复数的定义

早在初中，我们就学了\sqrt{x}

但是，老师告诉我们\sqrt{-1}木有意义

到了高中，老师说\sqrt{-1}=i

这说明初中老师脑子有问题

回到\sqrt{-1}=i，i表示什么？

我们知道，\times-1表示绕(0,0)旋转180\degree

那么i就表示绕(0,0)旋转90\degree(下面给出严格的证明)

复数就是虚数bi和实数a组成的a+bi

复数运算

加法

(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i

可以发现复数加法和向量加法平行四边形法则一模一样， 读者自证不难

减法

懂得都懂

乘法

(a+bi)\times(c+di)=(ab-cd)+(ad+bc)i

除法

除法没有明确的式子

e,\pi,\theta,r——欧拉公式和\theta-r表示法

欧拉公式

推导

e^{ix}=1+\frac{1}{2}(ix)+\frac{1}{6}(ix)^2\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\=1+\frac{1}{2}ix-\frac{1}{6}x^2\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\=(1-\frac1 2x^2+\frac1 {24}x^4\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot)+i(x-\frac1{6}x^3+\frac1 {120}x^4\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot) \\=\cos x+i\sin x \\其中e^{i\tau}=1(\tau=2\pi),e^{i\pi}=-1,e^{i\frac\pi2}=i

解决问题

\\=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i

\theta-r表示法

\\其中r=\sqrt{a^2+b^2},\theta=\tan^{-1}\frac a b

今天先聊到这里,Byebye!