《高等数学》习题2.6选做

1. 根据定积分的定义直接求下列积分： (1) $\displaystyle \int _{a}^{b} k\ \mathrm{d} x$ 解：由于和式永远为 $\displaystyle k( b-a)$，因此极限就是 $\displaystyle k( b-a)$，也即定积分结果。 (2) $\displaystyle \int _{a}^{b} x\ \mathrm{d} x$ 解：对于取定 $\displaystyle \delta >0$，我们考虑分析所有 $\displaystyle \lambda ( T) < \delta $ 的分割方式 $\displaystyle T$，对于一段区间 $\displaystyle [ x_{i-1} ,x_{i}]$ 以及选点 $\displaystyle \xi _{i} \in [ x_{i-1} ,x_{i}]$，这一部分的和为 $\displaystyle \xi _{i} \cdot \Delta x_{i}$，考虑 $$ \begin{aligned} & \quad \left| \xi _{i} \cdot \Delta x_{i} -\frac{x_{i-1} +x_{i}}{2} \cdot \Delta x_{i}\right| \\ & =\left| \xi _{i} -\frac{x_{i-1} +x_{i}}{2}\right| \cdot \Delta x_{i}\\ & \leq \frac{( \Delta x_{i})^{2}}{2} \end{aligned} $$ 那么将两部分求和，又注意到有 $\displaystyle \frac{b-a}{n} \leq \lambda ( T) < \delta $，因此 $\displaystyle n >\frac{b-a}{\delta }$。 $$ \begin{aligned} \mathrm{l.h.s.} & =\left| \left(\sum _{i=1}^{n} \xi _{i} \cdot \Delta x_{i}\right) -\left(\sum _{i=1}^{n}\frac{x_{i-1} +x_{i}}{2} \cdot \Delta x_{i}\right)\right| \\ & =\left| \left(\sum _{i=1}^{n} \xi _{i} \cdot \Delta x_{i}\right) -\left(\sum _{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2} -x_{i-1}^{2}}{2}\right)\right| \\ & =\left| \left(\sum _{i=1}^{n} \xi _{i} \cdot \Delta x_{i}\right) -\frac{b^{2} -a^{2}}{2}\right| \\ \mathrm{r.h.s.} & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}( \Delta x_{i})^{2}\\ & < \frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n} \delta \cdot \Delta x_{i}\\ & =\frac{( b-a) \delta }{2} \end{aligned} $$ 这说明积分结果为 $\displaystyle I=\frac{b^{2} -a^{2}}{2}$，对于任意 $\displaystyle \varepsilon >0$，取 $\displaystyle \delta =\frac{2\varepsilon }{b-a}$ 时成立。 3. 写出 $\displaystyle y=x^{2}$ 在区间 $\displaystyle [ 0,1]$ 上的黎曼和，其中分割为 $\displaystyle n$ 等分，中间点 $\displaystyle \xi _{i}$ 取为左端点。求出当 $\displaystyle n\rightarrow +\infty $ 时该黎曼和的极限 解：改求和为 $\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{2}\right) =\lim _{n\rightarrow +\infty }\frac{( n-1) \cdot n\cdot ( 2n-1)}{6n^{2}} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3}$。 5. 证明下列不等式： (1) $\displaystyle \frac{\pi }{2} < \int _{0}^{\pi /2}( 1+\sin x) \ \mathrm{d} x< \pi $ 解：$\displaystyle \frac{\pi }{2} =\int _{0}^{\pi /2} 1\ \mathrm{d} x< \int _{0}^{\pi /2}( 1+\sin x) \ \mathrm{d} x< \int _{0}^{\pi /2} 2\ \mathrm{d} x=\pi $。 6. 判别下列各题中两个积分指大小： (1) $\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d} x,\int _{0}^{1}\mathrm{e}^{x^{2}}\mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle ( 0,1)$ 上 $\displaystyle x >x^{2} \Leftrightarrow \mathrm{e}^{x} >\mathrm{e}^{x^{2}}$，因此 $\displaystyle >$。 7. 设函数 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上有定义，且假定 $\displaystyle y=f( x)$ 在任何闭区间上有最大最小值。对于任何一个分割 $\displaystyle T$，记 $\displaystyle m_{i}$ 为 $\displaystyle [ x_{i-1} ,x_{i}]$ 上的最小值，$\displaystyle M_{i}$ 为 $\displaystyle [ x_{i-1} ,x_{i}]$ 中的最大值。证明 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上可积的充要条件是极限 $\displaystyle \lim _{\lambda ( T)\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{m} m_{i} \Delta x_{i}$ 与 $\displaystyle \lim _{\lambda ( T)\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}$ 存在且相等。 必要性由黎曼积分的定义显然。下证充分性。注意到对于一个划分方案 $\displaystyle T$，有 $\displaystyle \sum _{i=1}^{m} m_{i} \Delta x_{i} \leq \sum _{i=1}^{m} f( \xi _{i}) \Delta x_{i} \leq \sum _{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}$，而对任意 $\displaystyle \varepsilon >0$，存在 $\displaystyle \delta _{1} ,\delta _{2}$ 使得 $\displaystyle \lambda ( T) < \delta _{1} \Rightarrow \left| I-\sum _{i=1}^{m} m_{i} \Delta x_{i}\right| < \varepsilon $，$\displaystyle \lambda ( T) < \delta _{2} \Rightarrow \left| I-\sum _{i=1}^{m} M_{i} \Delta x_{i}\right| < \varepsilon $，因此取 $\displaystyle \delta =\min( \delta _{1} ,\delta _{2})$ 就有 $\displaystyle \lambda ( T) < \delta \Rightarrow \left| I-\sum _{i=1}^{m} f( \xi _{i}) \Delta x_{i}\right| < \varepsilon $。得证。