民科笔记：律制简介

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规定音阶中每个音的具体音高的规则就是律制。

首先，我们需要一个绝对音高，也就是标准音，现代规定小字一组的 \text a^1 为 440\text{Hz}，接下来只需要知道不同音之间的距离怎样得到即可。下面简要说明一下历史上存在的三种律制。

实践表明，当两个音的频率比接近简单整数比时，它们听上去是和谐的。因此描述音与音之间的距离要用频率比值而不是差值，为此我们定义两个频率分别为 f_1,f_2\ (f_1>f_2) 的音的距离如下，单位为音分：

d=\dfrac{1200}{\ln 2}\ln\left(\frac{f_1}{f_2}\right)

例如，纯八度的两个音频率比为 1:2，因此听上去是最和谐的，其距离为 1200 音分。

五度相生律

除了 1:2 的频率比外最容易想到的整数比之一就是 2:3。我们定义频率比为 2:3 的两个音的音程为纯五度。

设我们有一个频率为 f 的基音（不妨就叫 \text C），则它向上纯五度就得到了频率为 \dfrac{3}{2}f 的音 \text G，再向上纯五度得到频率 \dfrac{9}{4}f，但是它超过了 2f，所以我们将它除以 2 得到 \dfrac{9}{8}f，这就是 \text D；接下来依次是 \dfrac{27}{16}f 的 \text A，\dfrac{81}{64} 的 \text E，\dfrac{243}{128}f 的 \text B。

这样，我们就得到了除 \text F 外所有我们熟悉的基本音级，而 \text F 的定义特殊一些，它定义为 \text C 向下纯五度得到的音，频率为 \dfrac{4}{3}f。

这样定义有可能的好处之一是 \text C 到 \text F 也是一个完美的比例 \dfrac{4}{3}，称之为纯四度。

现在我们就有了七个基本音级，以 \text C 为起点依次升高为 \text{CDEFGAB}。

那么 \text F 能不能也通过一直向上五度得到呢？事实上，一直向上五度重复十一次可以得到一个音 \sharp E，其频率为 \dfrac{177147}{131072}f，与 \text F 很接近但不同。而如果在此基础上再加一个纯五度（共十二个纯五度）就来到了 \sharp B，频率为 \dfrac{531441}{262144}f\approx 2.027f，并不等同于下一组的 \text C（高了 24 音分）。

至此我们发现，随着迭代次数的加大，五度相生律生成的音是可以无限增多的，总不会回到起点 \text C；不过它最大程度上的保证了一些特定的音之间频率为简单整数比。

因此，五度相生律的优点在于最大程度上保证了旋律的和谐性，但是缺点在于难以转调，因为一旦转调，大部分的音频率需要重新计算，不能用原有音名。

三分损益法

在五度相生律中我们通过 \text C 首先依次得到了 \text{G,D,A,E}，这五个音在中国古代就分别叫做 宫、徵、商、羽、角。

由于它们的频率比依次是 \dfrac{3}{2}，所以在制作乐器时每次将弦长变为原来的 \dfrac{2}{3} 就可以得到下一个音，也就是每次砍掉弦长的 \dfrac{1}{3}，所以叫三分损益法。

纯律

后来发现，五度相生律存在一个问题：在创作和声时表现出了不和谐性。

看个例子，考虑 \text{C} 和弦，根三五音分别是 \text{C,E,G}，频率依次是 f,\dfrac{81}{64}f,\dfrac{3}{2}f，这个 \dfrac{81}{64}f 就使得三音和另外两个音没有那么和谐。

在和声理论中比较重要的是 \text{I,IV,V} 级音为根音的和弦，这三个音分别称为 主音、下属音、属音。为了保证以这三个音为根音的和弦的听感，在五度相生律的基础上将 \text{III,VI,VII} 级音分别定义为 \text{I,IV,V} 级音的频率乘上 \dfrac{5}{4}，就是纯律。

这样一来，\text{C} 和弦的根三五音频率就分别是 f,\dfrac{5}{4}f,\dfrac{3}{2}f 了。

纯律中，\text{CDEFGAB} 的频率分别为 f,\dfrac{9}{8}f,\dfrac{5}{4}f,\dfrac{4}{3}f,\dfrac{3}{2}f,\dfrac{5}{3}f,\dfrac{15}{8}f。

纯律保证了和声的和谐，但是其缺点和五度相生律是一样的，即无法简单地转调。

十二平均律

为了方便转调，我们需要一个更加平均的律制。

我们发现一个巧合，纯五度约等于 702 音分，而 702 约等于 700，这是一个整百数。

于是，我们令原本相差纯五度的两个音的距离为 700 音分，这就相当于将 f 到 2f 取对数后十二等分，其中七份就是一个纯五度。

于是，\text{CDEFGAB} 的频率分别为 f,2^{\frac{2}{12}}f,2^{\frac{4}{12}}f,2^{\frac{5}{12}}f,,2^{\frac{7}{12}}f,,2^{\frac{9}{12}}f,,2^{\frac{11}{12}}f。

这样我们就可以轻松地转调，例如 \text C 大调的音阶是 \text{CDEFGABC}，转为 \text D 大调后对应音阶 \text{DE}\sharp\text{FGAB}\sharp\text{C}，可以直接使用原有的音名。

因此，十二平均律舍弃了一部分精确性，换来了转调的便捷性，其缺点就是和谐性不如五度相生律和纯律。

注：\sqrt[12] 2 的各个幂次都很接近一个简单有理数，这是一个极其美妙的巧合，现代的音乐理论，可以说很大程度上都是建立在这一巧合之上的。