【数学笔记】浅谈数列

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【数学笔记】浅谈数列

我们可知高斯公式：

\sum_{i=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

考虑推导它。我们可以瞪眼法发现首项加末项等于第二项加倒数第二项，以此类推。

也可以运用数形结合，这里不再赘述。

当然也可以使用构造方法：

构造策略 把数列中的每一项化为两项之差的形式。

\begin{align*} n &= \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} \ (1) \\ n-1 &= \frac{n(n-1)}{2} - \frac{(n-1)(n-2)}{2} \ (2) \end{align*}

我们能够发现，(2) 式其实就是把 (1) 式中的 n 换成 n-1 得来的。

以此类推：

\begin{align*} n-2 &= \frac{(n-1)(n-2)}{2} - \frac{(n-2)(n-3)}{2} \\ n-3 &= \frac{(n-2)(n-3)}{2} - \frac{(n-3)(n-4)}{2} \\ \cdots \\ 2&=\frac{2 \times 3}{2} - \frac{2 \times 1}{2}\\ 1&=\frac{1 \times 2}{2} - 0 \end{align*}

将其相加，发现中间项抵消，只留 \frac{n(n+1)}{2}。

所以我们就证明了高斯公式。

【例 1】求：

\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}

常规做法：令:

S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n} \ (1)

则：

\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+ \cdots +\frac{1}{2^{n+1}} \ (2) $$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}$$ 系数化为 $1$ 得： $$S=2 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} \right)=1 - \frac{1}{2^n}$$ **我们运用刚刚的构造策略：** $$ \begin{align*} \frac{1}{2^n} &= \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n} \\ \frac{1}{2^{n-1}} &= \frac{1}{2^{n-2}} - \frac{1}{2^{n-1}} \\ \cdots \\ \frac{1}{2} &= 1 - \frac{1}{2} \end{align*} $$ 所以最后只剩 $1$ 和 $-\frac{1}{2^n}$，即： $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}=1 - \frac{1}{2^n}$$ 我们可知裂项求和公式： $$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots \frac{1}{n(n+1)}= \left( 1-\frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) + \cdots \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$ #### 【例 2】求： $$\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ 有两种方法。 考虑通项 $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ 的构造。 **【方法 1】** $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n} \left( \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(n+1)}-\frac{1}{(n+2)}\right)= \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n+2)}$$ 所以： $$ \begin{align*} \frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} &= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \cdots \frac{1}{n(n+2)} \right)\\ &= \left( 1-\frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) + \cdots \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) - \frac{1}{2} \left[\left( 1-\frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right) + \cdots \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2} \right) \right] \\ &= 1-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)\\ &= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} $$ **【方法 2】** $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{(n)(n+2)}\right)= \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{2}\left( \frac{1}{(n)}-\frac{1}{(n+2)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$$ 所以： $$ \begin{align*} \frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3}\right) + \left( \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4}\right) + \cdots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\\ &= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} $$ #### 【例 3】求： $$\frac{3}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$$ 同理，考虑 $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ 的构造。 $$\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}= \frac{1}{n+1} \left[ \frac{2n+1}{n(n+2)}\right]= \frac{1}{n+1} \left[ \frac{2}{(n+2)} + \frac{1}{n(n+2)}\right]=\frac{2}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ 我们这时就将 **【例 3】** 转换成了 **【例 2】** 中的结论。 所以： $$ \begin{align*} \frac{3}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} &= 2 \left(\frac{1}{2} -\frac{1}{n+2} \right) + \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\ &= 1-\frac{2}{n+2}+ \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\ &= \frac{5^2+7n}{4(n+1)(n+2)}\\ &= \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} $$ 实在不能展开了。。。。。