题解：P1196 [NOI2002] 银河英雄传说

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题意

给定一个操作序列，包含两种操作：

特别地，保证 M 操作时， i 与 j 不在同一个序列；C 操作时，若 i 与 j 不在同一个队列，输出 -1。

# 思路 对于“A是否与B联通”的问题，显然可以使用并查集。但是维护联通关系还不行，我们还需要知道某两个已经联通的点 $i,j$ 它们之间间隙的大小。 稍加思索，我们只需要多维护一个信息就好了。定义 $dis[i]$ 含义为 $i$ 节点与祖先节点的距离；定义 $sz[i]$ 含义为以 $i$ 节点为根时整个集合的大小。 根据题意，在合并时，我们只需要关心两个节点的祖先节点即可。假设我们现在要将 $i$ 所在的集合合并到 $j$ 下面，那么对于 $i$ 的祖先节点来说，与 $j$ 的距离，就是 $sz[j]$，合并时先使 $dis[fa[i]] = sz[fa[j]]$ 然后 $sz[fa[j]] += sz[fa[i]]$ 来维护 $sz$ 数组。 为了加快查询的效率，使用路径压缩，经过观察，节点 $i$ 与它的祖先节点的距离 $dis[i] = dis[i] + dis[fa[i]]

所以我们可以在find过程中按照这个方式进行路径压缩。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 30000
int color[MAX_N + 10] = { 0 },
sz[MAX_N + 10] = { 0 },
dis[MAX_N + 10] = { 0 };
//获取 i 的颜色
int find(int i) {
    int fa = color[i];
    if(fa == i) return fa;
    int ret = find(fa);
    dis[i] = dis[i] + dis[fa];
    return color[i] = ret;
}
//把 b 合并到 a 之下
void merge(int a, int b) {
    int aa = find(a), bb = find(b);
    if(aa == bb) return ;
    //bb一定是某个根结点
    dis[bb] = sz[aa];
    sz[aa] += sz[bb];
    color[bb] = aa;
}
int main() {
    for(int x = 1; x <= MAX_N; x++) color[x] = x, sz[x] = 1;
    cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    int _;
    cin >> _;
    while(_--) {
        char op;
        int i, j;
        cin >> op >> i >> j;
        int aa = find(i), bb = find(j);
        if(op == 'M') merge(j, i);
        else {
            if(i == j) cout << 0 << "\n";
            else if(aa != bb) cout << -1 << "\n";
            else cout << max(dis[i], dis[j]) - min(dis[i], dis[j]) - 1 << "\n";
        }
    }
    return 0;
}