「笔记⑤」又双叒叕谈傅里叶变换

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一句话暴论：傅里叶变换就是局部紧交换群的复表示。

当然可以推广到非交换群上，可以推广到有循环律的交换半群上，乃至可以推广到非复数域上的表示。不过这些都不是本文所致力于表达的重点，本文只是试图将连续意义上的傅里叶变换和离散傅里叶变换以某种方式统一。

读者所被期望拥有的数理基础：有点群论基础，最好有点拓扑基础，当然有点泛函基础也不错（p.s. 这并不意味着作者有着相应的数理基础）。

也许会持续更新，也许不会，谁知道呢。

看一个称为“循环卷积”的家伙：

(f*g)(x) = \sum_{\tau = 0}^{n - 1} f(\tau)g((x - \tau)\bmod n).

其中 f 和 g 理解成循环群 \mathbb Z_n（或者说模 n 加法群）到复数域上的函数。

看一下离散傅里叶变换（DFT）干了什么。我们找到一族函数 \varphi_0,\dots,\varphi_{n-1}：

\varphi_k(x) = e^{2\pi\sqrt{-1}xk/n} = \omega_n^{xk}.

然后函数 f 摇身一变：

\hat f_k= \sum_{\tau = 0}^{n - 1}f(\tau)\cdot\varphi_k(\tau) = \sum_{\tau = 0}^{n - 1}f(\tau)(\omega_n^{k})^\tau.

于是卷积就变成了逐点乘法。

如果 A 既是 \mathbb C 上线性空间，又配备了线性的乘法，我们一般称 A 为 \mathbb C\text{-}代数。

考察循环群 \mathbb Z_n 到复数域上的全体函数，以卷积作为乘法，构成 \mathbb C\text{-}代数；

在有限群 G 中，也总可以定义函数卷积如下：

(f*g)(x) = \sum_{\tau \in G} f(\tau)g(\tau^{-1}x).

关于这个卷积为乘法，构成 \mathbb C\text{-}代数。

考察全体 n 维复矩阵 \text{M}_n(\C)，以矩阵乘法作为乘法，构成 \mathbb C\text{-}代数；

线性空间 V 上的线性自同态 \text{End}_{\mathbb C}(V)，以映射复合作为乘法，构成 \mathbb C\text{-}代数。

群 G 的 n 维复（矩阵）表示是一个群同态 \varphi\colon G\to\text{GL}_n(\mathbb C)。

代数 A 的 n 维复（矩阵）表示是一个代数同态 \varphi\colon A\to\text{M}_n(\mathbb C)。

群上函数以卷积为乘法的代数被称为群代数，我们可以自然地把群表示和群代数表示等同起来。

群代数作为半单代数，其结构完全由其不可约表示的直和决定，这一结果被称为 Wedderburn-Artin 定理。由于 \mathbb C 是代数闭域，因此不可约表示一定是到 \text{M}_n(\C) 的满同态，这意味着计算不可约表示乘法与计算矩阵乘法难度相当。

当然，我们并没有说什么是不可约表示，什么是完全可约表示，什么是半单代数，为什么群代数是半单代数，Wedderburn-Artin 定理具体是什么又怎么证，不可约表示的结构是怎样的，代数闭域怎么就导出 \mathbb C 上全矩阵环了。。。

而且，事实上，笔者接下来也不打算展开说明，因为这玩意儿说来话长。。。有兴趣的读者可以阅读群表示论相关资料。

接下来也会甩很多结论，希望读者能够“接受”它，最好“理解”它。

由于我们只研究交换群，所以结论会简单一点：交换群的不可约表示一定是 1 维表示，也就是说不可约表示形如群同态 G\to\mathbb C^{\times}，其中 \mathbb C^{\times}是复数乘法群。

另一个强而有力的结论是：群表示的同态像一定是酉的。作为推论，交换群的不可约表示一定是 G 映到全体单位圆上复数构成的乘法群（资料里将其称为圆群 \text{T}）。

综述一下：只要我们找出所有“不相同”的群同态 G\to\text{T}，我们就可以计算群函数卷积了。

哇，多么富有冲击力的事实！

然而想一想我们的傅里叶变换，好像也就是那么一回事。

比如拿出循环群 \mathbb Z_n 做个试验：

可以验证的是，这些同态关于逐点乘法将构成一个群，记为 $\widehat{\mathbb Z_n}$。观察：$\widehat{\mathbb Z_n}\cong\mathbb Z_n$。 设 $f$ 是一个 $\mathbb Z_n$ 到 $\mathbb C$ 的函数，它会诱导函数 $\hat f\colon \widehat{\mathbb Z_n}\to\mathbb C$，其中 $$ \hat f(\varphi_k) = \sum_{g\in\mathbb Z_n}f(g)\cdot\varphi_k(g). $$ 这就是傅里叶变换。此时卷积就可写作 $$ \widehat{f*g} = \hat f\cdot\hat g. $$ 如果觉得很难理解，可以把多项式那一套拿出来对比对比。 由于一维表示和其特征标等同，我们下用特征标 $\chi$ 代替 $\varphi$。

有限交换群由于众所周知的原因，可以拆成循环群的直和，因此不再仔细讨论。

现在，思维要加速了。

由于笔者想要偷懒，故拓扑学的基础概念，和测度论的基础概念，略去！

另外，下文中的函数其实是有些要求的，必须要有充分好的性质才能做一些操作。。。不过由于笔者的本意只是想介绍，而无意严格推导，故。。。略去！

我们想要把这一套理论从 \mathbb Z_n 推广到 \mathbb R 上，首要事情是 —— 建立积分（测度）理论。

往往，我们不会研究“一般的”无限群，而会研究有结构的无限群。这就像，说到集合，大家都觉得没劲；但是一说到集合上附加运算，成为群、环、域、模、线性空间等等，大家就来劲了。

以下我们在群上附加拓扑结构，使其成为“拓扑群”，并假设其具有 Hausdorff 性。

我们将目光集中在一类特殊的交换拓扑群，被称为“局部紧交换群（Locally Compact Abelian group，或许可被称为 LCA 群）”。它的定义是：

在这类群 G 上，总是可以定义一个测度，至多相差一个常数，使得积分成为不变积分：

\int_G f(x)\text{d}\mu(x) = \int_G f(gx)\text{d}\mu(x),\forall g\in G.

这个测度被称为 Harr 测度。

当然你可能会觉得我在说抽象话，我们不妨拿 \mathbb R 举个例子，不变积分的意思是：

\int_{\mathbb R}f(x)\text{d}x = \int_{\mathbb R}f(x + a)\text{d}x.

也就是“Lebesgue 测度的平移不变性”。人话说就是平移不改变长度、面积、体积。

相差一个常数的意思是，我可以把测度乘一个放缩比。用物理思维想想，长度是相对的概念而不是绝对的概念，测量长度啥的是相对于尺子的测量。

我们再拿 G=\mathbb Z_n 当例子，把拓扑定义离散拓扑（也即，所以集合都将成为开集）

对于子集 X\sub G，定义测度 \mu(X) = \frac{|X|}{|G|}，那么积分就是：

\int_G f\text{d}\mu = \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}f(x).

不变性体现在：

\frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}f(gx) = \frac{1}{|G|}\sum_{(gx)\in G}f(gx) = \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}f(x).

你可能会说，明明差一个常数也无所谓的，为啥会固定常数为 \frac{1}{|G|} 呢？

这其实因为 \mathbb Z_n 在离散拓扑下，其实不仅局部紧，而且紧 —— 紧性作为全局性质出现。而在 Harr 测度下，紧集的测度一定是有限的。

从而对于紧群而言，我们总希望乘上正规化因子使得整个集合的测度恰为 1。不过对于局部紧群也能成立的性质，其实乘不乘也无所谓就是了。。。

有了测度 \mu，我们才能定义卷积

(f*g)(x) = \int_{G} f(\tau)g(\tau^{-1}x)\text{d}\mu(\tau).

以及顺便把内积定义了

\langle f, g\rangle = \int_Gf(x)\overline{g(x)}\text{d}\mu(x).

仿照上面的研究方法现在来看，我们需要找到 G 到 \text{T} 的同态集 \widehat G —— 我们额外要求这个同态除了保持群结构以外还保持拓扑结构，也即连续群同态。

在一般情况下，可将 G 上拓扑，通过紧开拓扑，赋予 \widehat G 局部紧交换群（当然是 Hausdorff 的拓扑空间）的结构。

这个被赋予拓扑结构的 \widehat G 被称为 G 的 Pontryagin 对偶。之所以叫对偶。。。

\widehat{\widehat G} \cong G.

就是因为有如上的自然同构（通过赋值函子 \text{ev}_G 给出，参考线性空间里的对偶空间是怎么给出的）存在。

当然，由于我们讨论的是具体的群，所以我们不需要对抽象理论太过关心（关心 一下 是好的）。

有结论 \widehat{\mathbb R}\cong\mathbb R，这个同构并不自然，一种可以给出的同构为 \omega\to\chi_\omega(x) = e^{i\omega x},\omega\in\mathbb R。我们通过内积给出傅里叶变换的定义：

\hat f(\chi_\omega) = \langle f,\chi_\omega\rangle = \int_{\mathbb R}f(x)\overline{\chi_\omega(x)}\text{d}x = \int_{\mathbb R}f(x)e^{-i\omega x}\text{d}x

我们在 \mathbb Z_n 中定义傅里叶变换时并没有考虑内积啊共轭啊之类的，不过其实差不多。

之后在定义逆变换的时候，我们也可以看到，其实逆变换里是没有共轭的。

逆变换的存在性是这样描述的：对于 G 中 Harr 测度 \mu，存在 \widehat{G} 中唯一 Harr 测度 \nu，使得：

f(x) = \int_{\widehat G}\hat f(\chi)\chi(x)\text{d}\nu(\chi).

我们仍然看回 \mathbb R，由于 \mathbb R 上两个 Harr 测度只相差一个常数，因此在 \mathbb R 上的逆变换是：

f(x) = C\cdot\int_{\mathbb R}f(x)e^{i\omega x}\text{d}x.

这个常数 C 可被确定成 \frac{1}{2\pi}（如果我没记错的话，请大家不要轻信）。

另外有同构 \widehat{\mathbb Z}\cong\text{T} 与 \widehat{\text{T}}\cong\mathbb Z，会给出的是“傅里叶级数”和“离散时间傅里叶变换”（不知道谁对应谁，下次再仔细想想）。

于是我发现我写着写着有点累了。。。有空下次回来继续填坑。