【数学】函数奇偶性判断

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\begin{vmatrix}\Huge{\textsf{ 函数奇偶性判断 }}\\\texttt{A.D.Horcrux Presents.}\end{vmatrix}

判断奇偶性很重要（废话

这里有几种方法:

\huge\texttt{<0>先 看 定 义 域！！！}

定义域如果不关于原点对称，那函数一定是非奇非偶函数

例：y=\sqrt{x}

再例：y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}

一上来直接算就慢啦！！

第一个看出x\geq 0, 非奇非偶

第二个看出x只能等于1, 非奇非偶。

接下来再开始别的方法！！

\Large\texttt{<1>巧记}

1.加减

奇\pm奇=奇

偶\pm偶=偶

奇\pm偶=非

记法：前后相等则不变，不等则非奇非偶

例：

（1）y=x+sinx, 奇+奇=奇；

（2）y=x^2-|x|, 偶-偶=偶；

（3）y=x^2+\dfrac{1}{x}, 偶+奇=非。

2.乘除

奇\times(\div)奇=偶

偶\times(\div)偶=偶

奇\times(\div)偶=奇

记法：奇当1，偶当0，中间运算符当异或

或者奇当正数，偶当负数，也行得通

例：

（1）y=x*\sin x, 奇*奇=偶；

（2）y=\dfrac{x^2}{|x|}, 偶/偶=偶；

（3）y=\dfrac{\cos x}{x^2}, 奇/偶=奇。

3.复合函数

咕咕咕

\Large\texttt{<2>手推}

但是这些不全面，

主要是因为没办法包含非奇非偶的情况，

例如y=2^x+2^{-x}是两个非奇非偶函数，但加起来是偶函数，

而y=3^x+\ln x 也是两个非奇非偶函数，但加起来是非奇非偶函数。

那么我们就只好手推了：

牢记奇函数f(-x)=-f(x),

偶函数f(x)=f(-x).

例：y=2^x+2^{-x}

代入x=a,得y_1=2^a+2^{-a};

代入x=-a,得y_2=2^{-a}+2^{a} = y_1

所以f(x)=f(-x), 是个偶函数！

那我们来个刺激的：

~~心 肺 骤 停~~ 我们慢慢分析。 __先看分子：__ $y=4^{|x|}$是偶函数； $y=x-\dfrac{1}{x}$是奇函数减去奇函数，等于奇函数， 则$y=(x-\dfrac{1}{x})^2$是奇函数乘上奇函数，为偶函数。 所以分子是一个偶函数乘偶函数，等于偶函数。 __再看分母：__ $y=x^2-1$为偶函数减常数，为偶函数； 看到$y=\cos(x^2-1)$，直接代入 发现$f(x)=f(-x),$ 是个偶函数。 $y=x^3$是奇函数； $y=ln(\dfrac{x+1}{-x+1})$变化为$ln(x+1)-ln(-x+1),$代入得它是奇函数， 所以$y=\tan(\ln{\dfrac{x+1}{-x+1}})$是奇函数， 那么$y=x^3\tan(\ln{\dfrac{x+1}{-x+1}})$就是奇函数乘奇函数等于偶函数。 所以$y=\cos(x^2-1)+x^3\tan(\ln{\dfrac{x+1}{-x+1}})$是一个偶函数加上偶函数等于偶函数。 分子是偶函数，分母是偶函数 __那么一除，__$y=\dfrac{4^{|x|}(x-\dfrac{1}{x})^2}{\cos(x^2-1)+x^3\tan(\ln{\dfrac{x+1}{-x+1}})}$ __就是偶函数。__ 特简单awa $\Large\texttt{<3>求导}

未完

\textrm{——A.D.Horcrux presents.}

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\tiny\sout\texttt{本文标志着ADH右脚大脚趾的半个指甲盖踏入了高中数学awa} \tiny\texttt{以后会更新更多高中内容给大家awa}