击穿一诊（大轴）

Eznibuil · 2025-01-16 23:16:10 · 学习·文化课

哪怕血肉剥落，哪怕骸骨腐溃，哪怕灵魂坠入永不复还的囚牢，唯有「希望」不可抛舍…因为这是那个人留给我的、唯一的宝物……

管他压轴还是大轴呢，我个人觉得就是送客的大轴，所谓餐后甜点是也。

设二元组 k_n=(a_n;b_n)，且 k_1=(1;2)，对于所有的正整数 n，有 k_{2n}=(a_n;a_n+b_n) 和 k_{2n+1}=(b_n;a_n+b_n)，求证：若 i\ne j，则 \frac{a_i}{b_i}\ne\frac{a_j}{b_j}。

其实很简单，而且这个东西和 Stern-Brocot Tree 也有很深刻的联系。设 c_n=\frac{a_n}{b_n}，然后取一个 Stern-Brocot Tree 出来，令左虚根为 \frac01，右虚根为 \frac11，则根为 t_1=\frac12，令 t_n 左儿子为 t_{2n}，右儿子为 t_{2n+1}，则容易注意到 c_n 与 t_n 存在一一对应，证明改天一定写，因此证明完毕。

好的接下来是正常的证明：容易注意到该过程可以倒推且唯一，因此反证法可知一一对应，证毕。