极浅谈齐次化
dongzhenmao
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本文讲解析几何中的齐次化，我感觉这个东西在处理特定问题的时候很有用啊。
太长不看版：所求东西关于过一个点引出两条直线交二次曲线的题目可以平移那个点到原点，并利用 k = \dfrac{y}{x} 来做题。
在不要求具体点的时候很好用，因为你结出来的东西是关于斜率的。
先做一道题目：
:::info[平凡解法]
一种是设直线 $l_{PQ} : y = kx + b$，不过这个在不齐次化的情况下异常难算喵。
我的解法是设：
$$
\begin{aligned}
l_{AQ} &: y = kx + (1 - 2k) \\
l_{AP} &: y = -kx + (1 + 2k) \\
\end{aligned}
$$
联立 $C$ 与 $l_{AQ}$：$x ^ 2 - 2(kx + (1 - 2k)) ^ 2 = 2$。
化简：$(1 - 2k ^ 2) x ^ 2 + (8k ^ 2 - 4k) x + C_0 = 0$。
得到 $x_A + x_Q = \dfrac{8k ^ 2 - 4k}{2k ^ 2 - 1}$，所以 $x_Q = \dfrac{4k ^ 2 - 4k + 2}{2k ^ 2 - 1}$。
把 $k$ 换成 $-k$ 得到 $x_P = \dfrac{4k ^ 2 + 4k + 2}{2k ^ 2 - 1}$。
所以：
$$
k_{PQ} = \dfrac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} = \dfrac{-k(x_P + x_Q) + 4k}{x_P - x_Q} = -1
$$
:::
---
好，下面来说本文讲的东西，重新设 $A(x_0, y_0)$，二次曲线 $C: A x ^ 2 + B y ^ 2 = 1$，这里 $A,B$ 正负性任意，只要不是 $0$ 就可以。
考虑平移坐标系：
$$
X = x - x_0 \qquad Y = y - y_0
$$
在新坐标系下，我们~~惊讶地~~发现常数项消失了：
$$
AX ^ 2 + B Y ^ 2 + 2A x_0 X + 2 B y_0Y = 0
$$
注意，新坐标系下过新原点 $A$ 的直线斜率为 $k = \dfrac{Y}{X}$，到这里你也能理解为什么要平移坐标系了。
如果能直接得到 $k$ 就好了，不过原本的二次曲线竟然有一次项，不不不这我无疑是愤怒的，考虑设直线 $l_{PQ}$ 为 $uX + vY = 1$，然后乘进去。
$$
AX ^ 2 + B Y ^ 2 + (2A x_0 X + 2 B y_0Y)(uX + vY) = 0
$$
这样就得到了：
$$
(B + 2B y_0 v)k ^ 2 + (2B y_0 u + 2Ax_0 v)k + (A + 2Ax_0 u) = 0
$$
看上去好对称喵！
这样由韦达定理就能得到：
$$
k_0 k_1 = \dfrac{A + 2Ax_0 u}{B + 2By_0v}
$$
$$
k_0 + k_1 = -\dfrac{2B y_0 u + 2A x_0 v}{B + 2B y_0 v}
$$
请思考一下这里的 $k_0$ 和 $k_1$ 是什么意思以及为什么是这个意思。
剩下就只有三种情况了，全是很好用的二级结论。不过如你所见，证明真的很容易 w.
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第一种，也是本题的情况 $k_0 + k_1 = 0$，也就是说 $2B y_0 u + 2A x_0 v = 0$，我们得到：
$$
k_{PQ} = -\dfrac{u}{v} = \dfrac{Ax_0}{By_0}
$$
这个是曲线 $C$ 在新坐标系下 $(0, 0)$ 的切线斜率的相反数，也是在原坐标系 $(x_0, y_0)$ 切线斜率的相反数。
也就是说如果 $k_0 + k_1 = 0$ 我们得到的是一个平行直线簇。
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第二种，$k_0 + k_1 = t$，也就是说 $\dfrac{2B y_0 u + 2A x_0 v}{B + 2B y_0 v} = t$，我们得到（这是一个看出、证明直线过定点的套路）：
$$
\left(-\dfrac{2y_0}{t}\right)u + \left(-\dfrac{2Ax_0}{tB} - 2y_0\right)v = 1
$$
所以其过定点。
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第三种 $k_0 k_1 = t$，也就是说 $\dfrac{A + 2Ax_0 u}{B + 2By_0v} = t$。
同样的：
$$
\left(\dfrac{2Ax_0}{tB - A}\right)u + \left(-\dfrac{2tBy_0}{tB - A}\right)v = 1
$$
比方说这两条直线关于 $y = x$ 对称：$k_1 k_2 = 1$。
这两条直线被某直线平分：差角公式。
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然后就 ok 啦，最后别忘了平移回原本的坐标系。
上面是最基础的用法，下面来点更有意思的 w.
首先，是点不在曲线上的情况，这时常数项无法消掉，那么直接乘上 $(uX + vY) ^ 2$ 就能齐次化。
不过我说实话这种题目出出来那出题人的重要之物估计是批发的。
事已至此先练练手吧。
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$\text{P2}$：抛物线 $C: y^2 = 2px$，过原点 $O$ 作两条互相垂直的弦 $OP \perp OQ$，求证直线 $PQ$ 过定点。
:::info[解法]
老样子，不过这次那个点就是原点，开心喵。
$$
y ^ 2 - 2p(ux + vy)x = 0,\ k_1k_2 = -1\ \Rightarrow\ (2p)u + (0)v = 0
$$
所以过定点：$(2p, 0)$。
:::
$\text{P2.1}$：已知椭圆 $C: \dfrac{x ^ 2}{a ^ 2} + \dfrac{y ^ 2}{b ^ 2} = 1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $A(2,1)$。点 $M, N$ 在 $C$ 上，且 $AM \perp AN, AD \perp MN$，且 $D$ 为垂足。证明：存在定点 $Q$，使得 $|DQ|$ 为定值。
:::info[解法]
这里是重新推一遍公式的练习题，我仍然建议直接用字母最后再带入。
可是，真的很爽。
$$
\left(\dfrac{2Ax_0}{tB - A}\right)u + \left(-\dfrac{2tBy_0}{tB - A}\right)v = 1
$$
带入：
$$
t = -1 \qquad A = \dfrac{1}{6} \qquad B = \dfrac{1}{3} \qquad (x_0, y_0) = (2, 1)
$$
得到其过定点 $Q(-\dfrac{4}{3}, -\dfrac{4}{3})$，由于直角三角形性质，取 $AQ$ 中点即为圆心。
小技巧：不用算的项可以直接写个 $C_0$ 表示。
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:::info[非对称]
好，有的题目可能会出一些比方说 $ak_1 + k_2 = t$ 之类的雷霆限制，我们有套路化的东西可以应付它。
$$
\begin{aligned}
a(k_1 + k_2) - t &= (a-1)k_2 \\
(k_1 + k_2) - t &= (1 - a)k_2 \\
\end{aligned}
$$
把上面两个东西乘起来可以得到 $k_1k_2$，然后就可以解方程了。
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感觉习题有点少啊，自己去 @[FantasySegmentTree](luogu://user/766025) 的[文章](https://www.luogu.com.cn/article/srsdz1yd)找找吧。