第五章 p进赋值与素数分布 第一节 p进赋值

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定义：若\alpha满足p^\alpha||n，即p^\alpha\mid n,p^{\alpha+1}\nmid n，则记\alpha=v_p(n)。

命题：(1)n\ne0,n=p^{v_p(n)}\cdot m,\gcd(m,p)=1;

证明：由算术基本定理可得。$\quad\Box

命题：v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)

证明：设a=p^{v_p(a)}\cdot m,b=p^{v_p(b)}\cdot n(\gcd(m,p)=\gcd(n,p)=1)。

因此ab=p^{v_p(a)+v_p(b)}\cdot mn，而\gcd(mn,p)=1，故v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)。\quad\Box

命题：v_p(a+b)\ge\min(v_p(a),v_p(b))，在v_p(a)\ne v_p(b)时可取等。

证明：不等号显然，下设a=p^u\cdot m,b=p^v\cdot n,u> v。因此a+b=p^v(n+p^{u-v}\cdot m)，而\gcd(p,n+p^{u-v}\cdot m)=1，故v_p(a+b)=v\quad\Box

命题：a|b\Longleftrightarrow\forall p,v_p(a)\le v_p(b)。

证明：a\mid b\Longrightarrow b=ac\Longrightarrow v_p(b)=v_p(a)+v_p(c)\ge v_p(a)

v_p(b)\ge v_p(a)\Longrightarrow \big|\frac{b}{a}\big|=\prod\limits_{p}p^{v_p(b)-v_p(a)}\in\mathbb{Z}\Longrightarrow a\mid b\quad\Box

命题：\exists t,t^n=a\Longleftrightarrow \forall p,n\mid v_p(a)。

证明：t^n=a\Longrightarrow v_p(a)=v_p(t^n)=nv_p(t)\Longrightarrow n\mid v_p(a)

\forall p,n\mid v_p(a)\Longrightarrow a=\prod p^{a_pn}=(\prod p^{a_p})^n\quad\Box

命题：v_p(\gcd(a,b))=\min(v_p(a),v_p(b)),v_p(\text{lcm}(a,b))=\max(v_p(a),v_p(b))。

证明：由算术基本定理显然。\quad\Box

定理（升幂引理，\text{LTE}）（1）p为奇素数，\gcd(ab,p)=1,p\mid a-b，则v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)；

证明：令k=a-b，则v_p(k)\ge1。

v_p(a^n-b^n)=v_p(\sum\limits_{i=1}^n C_n^i b^{n-i}k^i)$，$i=1$时，$v_p(C_n^i b^{n-i}k^i)=v_p(n)+v_p(a-b) i\ge2,v_p(C_n^i)=v_p(\frac{n}{i}C_{n-1}^{i-1})\ge v_p(n)-v_p(i)

故v_p(C_n^i b^{n-i}k^i)\ge v_p(n)-v_p(i)+iv_p(k)\ge v_p(n)+v_p(k)+i-1-v_p(i)>v_p(n)+v_p(a-b)

因此\min\{C_n^i b^{n-i}k^i\}=v_p(a-b)+v_p(n)，故v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)。\quad\Box

（2）2\nmid n,v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)。

证明：\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+\cdots b^{n-1}为奇数。\quad\Box

（3）2\mid n,v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(n)-1

证明：设n=2^s\cdot t,2\nmid t

v_2(a^n-b^n)=v_2((a^t)^{2^s}-(b^t)^{2^s})=v_2((a^t-b^t)(a^t+b^t)\cdots (a^{2^{s-1}t}+b^{2^{s-1}t})=v_2(a^t-b^t)+v_2(a^t+b^t)+t-1=\text{RHS}\quad\Box