牛顿和莱布尼兹的爱恨情仇

今天我们来聊聊导数，因为内容太多，我们分两次讲。

p.s.一定要看完花絮再来哦~

导数公式

下面的C为常数，\alpha为任意实数。

(C)'=0

(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}

(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x

(a^x)'=a^x\ln a,(\text{e}^x)'=e^x

(\log_a{x})'=\dfrac{1}{x\ln a},(\ln x)'=\dfrac{1}{x}

(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x},(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x},(\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}

(\arctan x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}

函数y=f(x)在点x_0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x_0处的导数，并记作f'(x_0)。这时又称f(x)在点x_0处可导，可以记作

\lim\limits_{\triangle x\to 0}\dfrac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=f'(x_0)

如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f'(x)。于是，在区间(a,b)内，f'(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为f'(x)或y'（或y'_x）。

设f(x),g(x)可导，则

[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)

设f(x),g(x)可导，则

[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

若函数f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_{n-1}(x),f_n(x)都可导，其中n\geqslant2,n\in\mathbb{N}，那么

(f_1f_2\cdots f_{n-1}f_n)'=f_1'f_2\cdots f_{n-1}f_n+f_1f_2'\cdots f_{n-1}f_n+\cdots+f_1f_2\cdots f_{n-1}'f_n+f_1f_2\cdots f_{n-1}f_n'

（妈呀QwQ）

设f(x),g(x)可导，则

\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

若函数f(x)可导，且f(x)\ne0，则

\left[\dfrac{1}{f(x)}\right]'=-\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}

若函数u=g(x)与函数u=f(u)均可导，则复合函数y=f[g(x)]可导，且

[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)

或记成\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}。

好的，今天我们就聊到这里。

（妈呀，我又要脑溢血死亡了QwQ）