网络流总结
租酥雨
2017-12-08 23:21:09
##两个板子
###【模板】最大流
```cpp
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 1000000000
const int _ = 100005;
struct edge{int to,next,w;}a[_<<1];
int n,m,s,t,head[_],cnt=1,cur[_],dep[_],ans;
queue<int>Q;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
void link(int u,int v,int w)
{
a[++cnt]=(edge){v,head[u],w};
head[u]=cnt;
a[++cnt]=(edge){u,head[v],w};
head[v]=cnt;
}
int bfs()
{
memset(dep,0,sizeof(dep));
Q.push(s);dep[s]=1;
while (!Q.empty())
{
int u=Q.front();Q.pop();
for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
if (!dep[a[e].to]&&a[e].w)
dep[a[e].to]=dep[u]+1,Q.push(a[e].to);
}
return dep[t];
}
int dfs(int u,int flow)
{
if (u==t)
return flow;
for (int &e=cur[u];e;e=a[e].next)
if (dep[a[e].to]==dep[u]+1&&a[e].w)
{
int temp=dfs(a[e].to,min(a[e].w,flow));
if (temp) {a[e].w-=temp;a[e^1].w+=temp;return temp;}
}
return 0;
}
int main()
{
n=gi();m=gi();
/*
中间是建边的过程
*/
while (bfs())
{
for (int i=1;i<=n;i++) cur[i]=head[i];
while (int temp=dfs(s,inf)) ans+=temp;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
```
###【模板】最小费用最大流
```cpp
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 1000000000
const int _ = 100005;
struct edge{int to,next,w,cost;}a[_<<1];
int n,m,s,t,head[_],cnt=1,dis[_],vis[_],pe[_],pv[_],ans;
queue<int>Q;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
void link(int u,int v,int w,int cost)
{
a[++cnt]=(edge){v,head[u],w,cost};
head[u]=cnt;
a[++cnt]=(edge){u,head[v],0,-cost};
head[v]=cnt;
}
bool spfa()
{
memset(dis,63,sizeof(dis));
dis[s]=0;Q.push(s);
while (!Q.empty())
{
int u=Q.front();Q.pop();
for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
{
int v=a[e].to;
if (a[e].w&&dis[v]>dis[u]+a[e].cost)
{
dis[v]=dis[u]+a[e].cost;
pe[v]=e;pv[v]=u;
if (!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
}
}
vis[u]=0;
}
return dis[t]<dis[0];
}
int main()
{
n=gi();m=gi();
/*
中间是建边的过程
*/
while (spfa())
{
int sum=inf;
for (int i=t;i!=s;i=pv[i])
sum=min(sum,a[pe[i]].w);
ans+=dis[t];
for (int i=t;i!=s;i=pv[i])
a[pe[i]].w-=sum,a[pe[i]^1].w+=sum;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
```
##技巧总结
###单点限流量
拆点，每个点拆成出点和入点，连边的时候从出点连向入点。
###连续转移问题
也就是说状态会持续转移，从一个点到一个点再到另一个点。经典例题
[https://www.luogu.org/problemnew/show/1251](https://www.luogu.org/problemnew/show/1251)
餐巾计划问题（网络流24题10）
我们换个方式理解，因为每个点通过的流量是限制了的，所以可以认为每个点都是源点，也都是汇点。拆成两个点，s向每个“源点”连一条容量为指定数量的边，每个“汇点”向t同样连一条容量为指定数量的边，然后就是最小费用流了。
###最大收益问题
最大收益不好转化为最大流，但转化为最小割又出现了问最大而求最小矛盾。这里转化一下思想，其实求最大收益，就是求最小损失。我们先假设所有能赚到的收益都赚到了，然后就是最小化自己的损失。
同样以一道题来讲。https://www.luogu.org/problemnew/show/P2762
太空飞行计划问题（网络流24题2）
我们要选择一些实验并购买一些实验所需仪器，使总利润最大。如果不转化模型的话，既赚钱又花钱就很难处理。我们先假设我们已经拿到了所有的实验利润，然后就需要最小化损失，这里的损失可能是花了成本，也可能是没有得到收益，通过最小割问题求解。
###一些图论的相关术语
#####最小顶点覆盖
是指用最少数量（或最小权值和）的顶点去覆盖所有的边。
最小顶点覆盖NP-hard，但是如果图是一个二分图，可以用最小割跑。怎么跑自己想嘿嘿嘿。
#####最大独立集
是指在图中选出最多数量（或权值和最大）的点使得任两个点不直接相邻。
公式：最大独立集=sum-最小顶点覆盖
[https://www.luogu.org/problemnew/show/2774](https://www.luogu.org/problemnew/show/2774)
[https://www.luogu.org/problemnew/show/3355](https://www.luogu.org/problemnew/show/3355)
方格取数问题、骑士共存问题
最大独立集转最小顶点覆盖转二分图最小割转最大流即可。