初赛数学

SBro · 2025-09-11 19:49:12 · 个人记录

组合数学

一副扑克牌（除去大王和小王）共有 52 张牌，点数分别是 A、2、3、...、10、J、Q、K 共 13 种， 其中每种点数的牌都有黑桃、红桃、梅花、方片四种花色各一张。现在从 52 张牌中抽出三张，它 们之间花色、点数均不相同的方案数是（）。

A. 624
B. 1144
C. 41184
D. 6864

::::success[答案]

答案：D

思路：组合数学

从 4 种花色中选出 3 种，有 C^3_4 种方法；
再为这 3 种选出 3 个不同的点数，有 C^3_{13} 种方法。
选出的 3 个点数对应 3 个花色，有 3×2×1=6 种对应方法。

总共有 C^3_4 \times C^3_{13} \times 6 = 6864 种选牌的方法。

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从 0 到 9 中挑选 4 个不同的数字形成⼀个集合，且没有数字相差为 1 的选法有（ ）种。

A. 15
B. 18
C. 35
D.70

::::success[答案]

答案：C

思路：组合数学（插空法）

• 我们需要从0到9这10个数字中选择4个数字。
• 这4个数字之间不能有任何两个数字是相邻的。

为了保证所选的4个数字之间没有相邻的数字，我们可以先将这4个数字看作是4个“球”，然后在它们之间插入至少一个“隔板”以保证它们不相邻。

假设我们已经选择了4个数字，并且它们之间至少有一个空位，那么剩下的6个位置（包括两端）可以用来放置这些数字和可能的额外间隔。

因此，问题转化为从7个位置中选择4个位置的问题（因为每个被选的位置后面必须有一个空位，但最后一个被选的位置后面可以没有空位），即计算组合数 C(7,4)。

计算组合数：

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若三个正整数 a,b,c 的位数之和为 8，且组成 a,b,c 的 8 个数码能排列为 2,0,2,4,0,9,0,8，则称 (a,b,c) 为“幸运数组”，例如 (9,8,202400) 是一个幸运数组。满足 10<a<b<c 的幸运数组 (a,b,c)​ 的个数为（）。

A. 520 B. 300 C.480 D. 591

::::success[答案]

答案：D

思路：组合数学 + 分类讨论

对于幸运数组 (a,b,c)，当 10<a<b<c 时，分两类情形讨论。

情形1：a 是两位数，b,c 是三位数。暂不考虑 b,c 的大小关系，先在 a,b,c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填8，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为 C(5,3) \times C(5,2) \times 3! = 600 种。再考虑其中 b,c 的大小关系，由于不可能有 b=c，因此 b<c 与 b>c 的填法各占一半，故有 600/2=300 个满足要求的幸运数组。

情形2：a,b 是两位数，c 是四位数。暂不考虑 a,b 的大小关系，类似于情形1，先在 a,b,c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填8，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600。再考虑其中 a,b 的大小关系。若a=b，则必有 a=b=20，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且8不在首位，有 3 \times 3! =18 种填法，除这些填法外，a<b 与 a>b 的填法各占一半，故有 (680-18)/2=291 个满足要求的幸运数组。

综上，所求幸运数组的个数为 300+291=591 种。 ::::

在8个排成一排的人中随机挑选3个，使得3个人至少有两人相邻的概率是：（ ）

A. \frac{9}{14}

B. \frac{3}{14}

C. \frac{5}{14}

D. \frac{11}{14}

::::success[答案]

答案：A

思路：组合数学

在8个排成一排的人中随机挑选3个，使得3个人至少有两人相邻的概率是：

总的选择方法数：\binom{8}{3} = 56 种

不相邻的选择方法数：将3个人看作3个空位插入5个间隔（即有6个位置可放空位）中，有 \binom{6}{3} = 20 种

因此，至少两人相邻的概率为：1 - \frac{20}{56} = \frac{36}{56} = \frac{9}{14}

正确答案是 A. \frac{9}{14}。 ::::

从男女数量相同的8个人中随机选取三个人做大作业。则选出的3个人不都是同性的概率为（）

A. 1/7

B. 6/7

C. 25/28

D. 2/7

::::success[答案]

答案： B. \frac{6}{7}​

思路：组合数学

总组合数：\binom{8}{3} = 56。

全男或全女：\binom{4}{3} + \binom{4}{3} = 8。

同性概率：\frac{8}{56} = \frac{1}{7}。

不都是同性的概率：1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}。

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设有一个10个顶点的完全图，每两个顶点之间都有一条边，有多少个长度为4的环？（ ）

A.120

B.210

C.630

D.5040

::::success[答案]

答案：C

一个长为4的环，由4个顶点构成。

从10个顶点中选出4个顶点，4个顶点可以构成3种环

1-2-3-4-1
1-3-2-4-1
1-3-4-2-1

总方案数为 C ( 10 , 4 ) \times 3 = 630

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容斥原理

将6本不同的书分给3⼈，每⼈⾄少1本，有（ ）种分法。

A. 540
B. 360
C. 90
D. 120

::::success[答案]

答案：A

思路：容斥原理

随意分配的方案数为 3^{6} = 729

减至少一个人没分配到数的方案数为: 3 \times 2^6 = 192

加两人空: 3 \times 1^6 = 3

所以总计: 729-192+3 = 540。 ::::

其他

假设一个四位数 n = abcd，a,b,c,d 均为 1~9 之间的整数，若以 a,b,c,d 作为四边形的四条边（a 与 c、b 与 d 是对边），可以得到一个等腰梯形（两底面长度不同），那么这样的 n 有（）个。

A. 1096
B. 1156
C. 548
D. 578

::::success[答案]

答案：A

思路：分类讨论

有 4 种情况：

① a,c 是腰，b<d；
② a,c 是腰，b>d；
③ b,d 是腰，a<c；
④ b,d 是腰，a>c；

枚举两腰与上下底的边长，要求两腰长度>下底长度-上底长度。枚举边长的所有情况，最后乘以 4 得到答案。 ::::

小明和小杨轮流掷硬币（每次掷硬币正面朝上概率是 2/3，反面朝上的概率是 1/3)， 小明先掷， 如果谁先掷到正面算谁赢， 请问小明赢的概率是（ ）。

A. 2/3
B. 1/2
C. 3/4
D. 3/5

::::success[答案] 答案：C

设小明A赢的概率为 x，小杨B赢的概率应该为 x/3，也就是小明第一次投到反面以后才轮到小杨。

• A(7,1) = 120
• A(7,2) = 1191

因此：

总排列数为 7! = 5040 ，所以满足条件的排列数为1312。

最终答案：

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从线段上随机挑选两个点，其距离不小于线段长度一半的概率为（）。

A. 1/3

B. 2/3

C. 1/4

D. 1/2

::::success[答案]

答案：C. 1/4

在单位正方形 [0,1] \times [0,1] 内，|x-y| \geq 1/2 的区域是两个直角边为 1/2 的直角三角形，每个面积 1/8，总面积 1/4，故概率为 1/4​。

几何图示（帮助理解）：

正方形 [0,1] \times [0,1]​。

直线 Y = X + 1/2：从点 (0, 1/2) 到点 (1/2, 1)。

直线 X = Y + 1/2：从点 (1/2, 0) 到点 (1, 1/2)。

目标区域是两个小三角形：

• 一个三角形顶点为 (0, 1/2), (0, 1), (1/2, 1)（对应 Y \geq X + 1/2）。
• 另一个三角形顶点为 (1/2, 0), (1, 0), (1, 1/2)（对应 X \geq Y + 1/2）。

每个三角形是直角边为 1/2 的等腰直角三角形，面积各为 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}。

所以两个三角形面积为 \frac{1}{4}。

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⼀场盛⼤的晚宴，有 5 名本校选⼿和 5 名外校选⼿共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个本校选手左右旁都是外校选手，每个外校选⼿左右旁都是本校选手。那么，这⼀桌⼀共有（ ）种不同的就坐方案。 注：如果在两个方案中，每个选⼿左右相邻的选手相同，则视为同⼀种方案。

A. 120

B. 2680

C. 2880

D. 3360

::::success[答案] 答案：C

解析：圆桌排列，固定一人位置避免旋转重复。

• 本校选手圆排列：(5-1)! = 24 种
• 外校选手填充间隔：5! = 120 种
• 总计 24 \times 120 = 2880 种

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甲乙两人进行比赛，每局比赛获胜的概率相同，均为甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，现规定两人持续比赛，直到有一方比对方获胜局数多两局时获得一场比赛的胜利，则甲获胜的概率是（）

A. 2/5

B. 4/9

C. 4/13

D. 1/3

::::success[答案]

答案：C

甲获胜的概率为 \frac{p^2}{p^2 + q^2}（其中 p = 0.4，q = 0.6）是一个经典结论，适用于“领先2局获胜”的规则。以下是简洁解释：

1. 问题背景

   • 每局甲赢的概率为 p，乙赢的概率为 q（且 p + q = 1）。
   • 比赛持续，直到一方比另一方多赢两局（即领先2局）时获胜。

2. 关键观察：对称性与吸收状态

   • 比赛可视为随机游走（从0开始，甲赢+1，乙赢-1），目标为到达+2（甲赢）或-2（乙赢）。
   • 规则对称（领先2局获胜），但概率不对称（p \neq q）。

3. 推导思路（简洁版）

   • 设 x 为从0开始甲最终获胜的概率。
   • 考虑前两局结果：
   • 甲连赢两局（概率 p^2）：直接获胜。
   • 乙连赢两局（概率 q^2）：甲失败。
   • 一胜一负（概率 2pq）：回到初始状态（0领先）。
   • 建立方程：
   x = p^2 \cdot 1 + q^2 \cdot 0 + 2pq \cdot x

   即：

   x = p^2 + 2pq x

• 解方程：

  x - 2pq x = p^2 x(1 - 2pq) = p^2 x = \frac{p^2}{1 - 2pq}

• 利用恒等式 1 - 2pq = p^2 + q^2（因为 p^2 + 2pq + q^2 = 1）：

  x = \frac{p^2}{p^2 + q^2}

4. 直观理解

   • 公式表示：甲获胜概率正比于其“直接连赢两局”的概率。
   • 分母 p^2 + q^2 是“比赛在两局内结束”的概率（甲或乙连赢），分子 p^2 是甲直接连赢的概率。

5. 代入数值

   \frac{0.4^2}{0.4^2 + 0.6^2} = \frac{0.16}{0.16 + 0.36} = \frac{0.16}{0.52} = \frac{4}{13}

6. 一般化规则

   • 若规则为“领先n局获胜”，则甲获胜概率为 \frac{p^n}{p^n + q^n}（通过类似递推可得）。

因此，甲获胜的概率为 \boxed{\dfrac{4}{13}}。

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