【6*】差分约束系统学习笔记
w9095
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算法·理论
前言
此类知识点大纲中并未涉及，所以【6】是我自己的估计，后带星号表示估计，仅供参考。
差分约束系统属于图论建模，有一定的思维难度，而且比较绕，同时题目中的隐含条件也非常多，是一个比较难的知识点。
差分约束
给出一组包含 m 个不等式，有 n 个未知数的形如：
\begin{cases} x_{c_1}-x_{c'_1}\leq y_1 \\x_{c_2}-x_{c'_2} \leq y_2 \\ \cdots\\ x_{c_m} - x_{c'_m}\leq y_m\end{cases}
的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解（或 x_i-x_j 的最大值）。
变形得到：
\begin{cases} x_{c_1}\leq y_1+x_{c'_1} \\x_{c_2}\leq y_2+x_{c'_2} \\ \cdots\\ x_{c_m} \leq y_m+ x_{c'_m}\end{cases}
此时，x_i 最大可以取 x_{i'}+y_i ，于是可以把这个看作一条 i'\to i ，边权为 y_i 的有向边，这样边上存储的就是 i'\to i 的最大差值。这样建成一张有向图后，每条 i\to j 的路径就是 x_i 与 x_j 的在一个不等式组中的最大差值。根据不等式“同小取小”的原则，x_{i} 与 x_j 的最大差值就是 i\to j 的最短路径，可以直接使用SPFA求解。
一个差分约束系统会有 3 种情况：
$2$ ：在**没有负环**的情况下，点 $i$ 和点 $j$ 不连通，之间没有约束，该差分约束系统有无数解。
$3$ ：无负环的连通图，有解。
不等式的统一见例题 $2$ 。
### 差分约束例题
例题 $1$ ：
[P5960 【模板】差分约束算法](https://www.luogu.com.cn/problem/P5960)
差分约束模板题，可以建立一个“超级源点”，跑出一组差量直接输出即可。
或者看看 [零碎知识点整理](https://www.luogu.com.cn/blog/w9095/ling-sui-zhi-shi-dian-zheng-li) 的图论 $1.5$ 。
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int t,next,dis;
}e[10050];
int m,n,c,d,k,h[5010],dis[5010],tol[5010],que[800010],book[5010],head=1,tail=0,cnt=0;
void add_edge(int u,int v,int dis)
{
e[++cnt].next=h[u];
e[cnt].t=v;
e[cnt].dis=dis;
h[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
que[++tail]=s;
book[s]=1;
while(head<=tail)
{
int now=que[head];
book[que[head]]=0;
for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
{
int t=e[i].t;
if(dis[now]+e[i].dis<dis[t])
{
dis[t]=dis[now]+e[i].dis;
if(!book[t])que[++tail]=t,tol[t]++,book[t]=1;
}
if(tol[t]>=n+1)return 1;
}
head++;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
add_edge(0,i,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=99999999;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
add_edge(d,c,k);
}
if(spfa(0))printf("NO\n");
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
```
例题 $2$ ：
[P1993 小 K 的农场](https://www.luogu.com.cn/problem/P1993)
三种情况换算一下就是这样的：
$1$ ：$a-b\ge c
两边同时除以 -1 ，得 b-a\le -c 。
2$ ：$a-b\le c
3$ ：$a=b
可以化为 a-b\le0 且 a-b\ge0 ，再选择一个不等式反转就行。
建立一个差分约束系统，在“超级源点”处跑一边SPFA。如果有负环，证明没有最小值，该差分约束系统无解，输出 No ，否则输出 Yes 。
注意一下两点：
$2$ ：由于添加了一个“超级源点”，每个点的最多入队次数是 $n+1$ 次。
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int t,next,dis;
}e[20050];
int m,n,c,d,k,h[10010],dis[10010],tol[10010],que[16000010],book[10010],head=1,tail=0,cnt=0;
void add_edge(int u,int v,int dis)
{
e[++cnt].next=h[u];
e[cnt].t=v;
e[cnt].dis=dis;
h[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
que[++tail]=s;
book[s]=1;
while(head<=tail)
{
int now=que[head];
book[que[head]]=0;
for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
{
int t=e[i].t;
if(dis[now]+e[i].dis<dis[t])
{
dis[t]=dis[now]+e[i].dis;
if(!book[t])que[++tail]=t,tol[t]++,book[t]=1;
}
if(tol[t]>=n+1)return 1;
}
head++;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
add_edge(0,i,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=99999999;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int op=0;
scanf("%d",&op);
if(op==1)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
add_edge(c,d,-k);
}
else if(op==2)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
add_edge(d,c,k);
}
else if(op==3)
{
scanf("%d%d",&c,&d);
add_edge(d,c,0);
add_edge(c,d,0);
}
}
if(spfa(0))printf("No\n");
else printf("Yes\n");
return 0;
}
```
### 差分约束扩展
给出一组包含 $m$ 个不等式，有 $n$ 个未知数的形如：
$$ \begin{cases} x_{c_1}-x_{c'_1}\geq y_1 \\x_{c_2}-x_{c'_2} \geq y_2 \\ \cdots\\ x_{c_m} - x_{c'_m}\geq y_m\end{cases}$$
的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解（或 $x_i-x_j$ 的最小值）。
变形得到：
$$ \begin{cases} x_{c_1}\geq y_1+x_{c'_1} \\x_{c_2}\geq y_2+x_{c'_2} \\ \cdots\\ x_{c_m} \geq y_m+ x_{c'_m}\end{cases}$$
此时，$x_i$ 最小可以取 $x_{i'}+y_i$ ，于是可以把这个看作一条 $i'\to i$ ，边权为 $y_i$ 的有向边，这样边上存储的就是 $i'\to i$ 的最小差值。这样建成一张有向图后，每条 $i\to j$ 的路径就是 $x_i$ 与 $x_j$ 的在一个不等式组中的最小差值。根据不等式“同大取大”的原则，$x_{i}$ 与 $x_j$ 的最小差值就是 $i\to j$ 的最长路径，可以直接使用SPFA或拓扑排序求解。
### 差分约束扩展例题
例题 $3$ ：
[UVA1723 Intervals](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1723)
由于本题涉及到区间计数，自然联想到前缀和。又因为题目要求最小化取的数字的个数，那么就是要化出带 $\ge$ 的式子。
设 $s_i$ 为前 $i$ 项的前缀和（选择的数字个数），那么对于区间 $[a,b]$ 中至少取任意互不相同的 $c$ 个整数，则根据前缀和思想，转化为：
$$s_b-s_{a-1}\ge c$$
同时，这题有两个隐含条件：
$1$ ：$s_i-s_{i-1}\ge0
后面的前缀和一定比前面大，因为数字要么选，要么不选，是一个 +0 或 +1 的变化，前缀和在这里只增不减。
2$ ：$s_i-s_{i-1}\le1
因为每个数字只能选择一次，所以对于每个位置，前缀和每次最多只能增加 1 。
变形后得到：s_{i-1}-s_i\ge-1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int t,next,dis;
}e[800050];
int t,n,md,c,d,k,h[50010],dis[50010],tol[50010],que[21000010],book[50010],head=1,tail=0,cnt=0,maxn=0;
void add_edge(int u,int v,int dis)
{
e[++cnt].next=h[u];
e[cnt].t=v;
e[cnt].dis=dis;
h[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
que[++tail]=s;
book[s]=1;
while(head<=tail)
{
int now=que[head];
book[que[head]]=0;
for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
{
int t=e[i].t;
if(dis[now]+e[i].dis>dis[t])
{
dis[t]=dis[now]+e[i].dis;
if(!book[t])que[++tail]=t,tol[t]++,book[t]=1;
}
if(tol[t]>=maxn)return 1;
}
head++;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(h,0,sizeof(h));memset(tol,0,sizeof(tol));memset(book,0,sizeof(book));
head=1;tail=0;cnt=0;maxn=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
maxn=max(c,maxn);maxn=max(d,maxn);
add_edge(c-1,d,k);
}
for(int i=1;i<=maxn;i++)
dis[i]=-1;
dis[0]=0;
for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
add_edge(i-1,i,0);
add_edge(i,i-1,-1);
}
spfa(0);
printf("%d\n",dis[maxn]);
if(t)printf("\n");
}
return 0;
}
后记
弄了一句口诀，方便记忆：
最大小于最短路，最小大于最长路。