ABC395E题解

kunkunge · 2025-03-02 00:10:46 · 算法·理论

题目描述

给定一个 n 个节点 m 条边的有向图, 从 u 到 v 的权值为 1 ,但可以耗费代价 k 将所有边的方向反转, 问从 1 到 n 的最短路径的最小权值是多少?

思路

这是分层图的板子题

我们假设dis_{n}表示从 1 到 n 的最短路径的最小权值

我们考虑将图分成 2 层, 第一层为正常的图, 第二层为反转后的图

如果我们要从第 1 层进入第 2 层, 需要花费 k 代价

建完图后我们就可以用 Dijkstra 算法求解了

最短路径是第一层与第二层 dis_{n} 之间的最小值

复杂度分析

显而易见,时间复杂度的瓶颈为 Dijkstra ,所以复杂度为 O(m\log m)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ff first
#define ss second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define MOD 1000000007
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5, inf = 0x3f3f3f;
vector<pair<int, int>> e[N * 2];
int dis[N * 2];
bool vis[N * 2];
struct node
{
    int dis, u;
    bool operator>(const node &a) const { return dis > a.dis; }
};
priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> q;
void dij(int s)
{
    memset(dis, inf, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    q.push({0, s});
    while (q.size())
    {
        int u = q.top().u;
        q.pop();
        if (vis[u])
            continue;
        vis[u] = 1;
        for (auto ed : e[u])
        {
            int v = ed.first, w = ed.second;
            if (dis[v] > dis[u] + w)
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                q.push({dis[v], v});
            }
        }
    }
}
void solve()
{
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        e[i].pb({i + n, k}); // 第一层到第二层
        e[i + n].pb({i, k}); // 第二层到第一层
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        e[u].pb({v, 1}); // 第一层u -> v
        e[v + n].pb({u + n, 1}); // 第二层v -> u
    }
    dij(1);
    cout << min(dis[n], dis[2 * n]);
}
signed main()
{
    int T = 1;
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    // cin >> T;
    while (T--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}