欧拉系列(详细证明!)

后台显示没炸，前台看着炸公式了，可以点以下链接去看 [也许更好的阅读体验(cnblog)](https://www.cnblogs.com/Morning-Glory/p/11106828.html) [也许更好的阅读体验(csdn)](https://blog.csdn.net/Morning_Glory_JR/article/details/94155283) # 文章内容 * 欧拉函数 * 欧拉函数常用性质 * 欧拉定理 * 扩展欧拉定理 * 线性筛法 * 欧拉反演 --- # 欧拉函数 * 定义 欧拉函数是 __小于等于__ x的数中与x __互质__ 的数的 __数目__ 符号 $\varphi(x)$ __互质__ 两个互质的数的最大公因数等于1,1与任何数互质 * 通式 $\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$ 其中$p_i$为$n$的质因子，$n$为$x$的因子个数 --- # 欧拉函数常用性质 * 若 $n$ 为质数，显然$\varphi(n)=n-1$ $\begin{aligned}\end{aligned}$ * __欧拉函数是积性函数__ 积性函数: 对于任意 __互质__ 的整数 $a$ 和 $b$ 有性质$f(ab)=f(a)·f(b)$的数论函数。 若$m,n$互质，$\varphi(mn)=\varphi(m)·\varphi(n)$ $\begin{aligned}\end{aligned}$ * 如果$x=2n$($n$为奇数)，$\varphi(x)=\varphi(n)$ 即$\varphi(2n)=\varphi(n)$($n$为奇数) n为奇数时,n与2互质，$\varphi(2)=1$ $\begin{aligned}\end{aligned}$ * 若$p$为质数,则$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$ 因为与$p^k$不互质的只有$p$的倍数，而$p^k$中$p$的倍数有$p^{k-1}$个 $\begin{aligned}\end{aligned}$ * 当$x>2$时，$\varphi(x)$为偶数 这一点需要了解更相减损术 即$gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$ 由该公式我们可以知道，所有与$n$互质的数都是成对出现的 $\begin{aligned}\end{aligned}$ * 小于n的数中，与n互质的数的总和为$\varphi(n)*n/2\ \ (n>1)$ 由上面的证明(更相减损术)我们知道，每一对与$n$互质的数的和为$n$，共有$\varphi(n)/2$对 $\begin{aligned}\end{aligned}$ * $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$即$n$的因数$($包括$1$和它自己$)$的欧拉函数之和等于$n$ 这条性质的运用又叫 __欧拉反演__ 定义函数 $\begin{aligned}f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}$ * $f(n)$为积性函数 $\begin{aligned}f(n)·f(m)=\sum_{i|n}\varphi(i)\sum_{j|m}\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i)·\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i·j)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=f(nm)\end{aligned}$ $f(p^k)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots+(p^k-p^{k-1})=p^k$ $n=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}$ $f(n)=f(p_1^{k_1})·f(p_2^{k_2})·\cdots·f(p_m^{k_m})=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}=n$ $\begin{aligned}\end{aligned}$ --- # 欧拉定理 若$a,m$互质，$a^{\varphi(m)}≡1(mod\ m)$ * 证明 * __剩余系__ 指对于某一个特定的正整数$n$，一个整数集中的数$mod\ n$所得的余数域。 * __完全剩余系__ 设$m\in Z+$，若$r_0$,$r_1...$ $r_{m-1}$为$m$个整数，并且两两模$m$不同余，则$r_0$,$r_1...$ $r_{m-1}$叫作模$m$的一个完全剩余系。 * __缩系__ 设$A$是$mod\ n$的剩余系，若任意$A$中两个元素相乘$mod\ n$后仍为$A$中的元素,则称$A$为$mod\ n$的缩系 * 若$a,m$互质，则$m$的一个缩系为 $\{x_1,x_2,x_3...x_{\varphi(m)}\}$ $\{ax_1\%m,ax_2\%m,ax_3\%m...ax_{\varphi(m)}\%m\}$也是$mod\ m$的缩系 于是可以得到 $\sum_{i=1}^{\varphi(m)}ax_i\equiv \sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\ (mod\ m)$ $a^{\varphi(m)}\sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\equiv \sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\ (mod\ m)$ $a^{\varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ m)$ * 而当$m$为质数时，$\varphi(m)=m-1$ $a^{(m-1)}≡1(mod\ m)$ 这就是我们熟知的 __费马小定理__ * 变式 $a,m$互质$a^b≡a^{b\%\varphi(m)}(mod\ m)$ --- # 扩展欧拉定理 若$b>\varphi(m)$ 即使$a,m$__不互质__，$a^b≡a^{b \%\varphi(m)+\varphi(m)}\left(mod\ m\right)$ * 证明 从$m$中提一个质因子$p$出来 令$m=p^k·s$ 有$gcd(p^k,s)=1$，即$p^k,s$互质 根据欧拉定理，我们知道$p^{\varphi(s)}≡1(mod\ s)$ 根据欧拉函数是积性函数，我们知道$\varphi(s)|\varphi(m)$所以有$p^{\varphi(m)}≡p^{\varphi(s)}(mod\ s)$ 设$p^{\varphi(s)}=xs+1$ 那么$p^{\varphi(s)+k}=xm+p^k$ 所以$p^{\varphi(s)+k}≡p^k (mod\ m)$，也有$p^{\varphi(m)+k}≡p^k (mod\ m)$ 当$b\geq k$时，$p^b≡p^{b-k}·p^k≡p^{b-k}·p^{\varphi(s)+k}≡p^{b+\varphi(m)}(mod\ m)$ 又因为$k\leq\varphi(p^k)\leq\varphi(m)$，所以当$b\geq 2\varphi(m)$时，满足$p^b≡p^{b-\varphi(m)}(mod\ m)$ 注意是$2\varphi(m)$! 所以可以得到$p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)$ 因此我们可以得到对任意质数$p$都有$b\geq 2\varphi(m),p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)$ 非$m$质因子的$p$，有欧拉定理 将$a$因式分解，可以得到 $a^b≡a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)$ * 注意 $b<\varphi(m)$时，公式不一定成立 --- # 线性筛法 类似与筛素数，我们在这里利用欧拉函数是积性函数这个性质来筛$\varphi$ __$\mathcal{Code}$__ ```cpp int cnt; int prime[maxn],phi[maxn]; bool vis[maxn]; void Euler_sieve (int n) { phi[1]=1; for (int i=2;i<=n;++i){ if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1; for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){ vis[i*prime[j]]=true; if (i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;} phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]; } } } ``` --- # 欧拉反演 本来没有欧拉反演这个名字的，只不过大家习惯性称之为欧拉反演 所谓欧拉反演其实就是利用欧拉函数的一条性质 $\begin{aligned}n=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}$ (上面有证明) 我们试着把$n$换成其他东西试试 $\begin{aligned}gcd(i,j)=\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)=\sum_{d|i}\sum_{d|j}\varphi(d)\end{aligned}$ 让我们求个东西试试 $\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{d|n}\varphi(d)=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}$ 把它重写一遍作为结论 $\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}$ 感谢 @Everything_will_die @bcr_233 @Pour @渣渣lyz 指出错误，已更正，博主最近电脑被控制，不能及时回复，敬请原谅