数学学习笔记
基本不等式
它是什么
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(ab)_{\min}$：$ab=4a+b \ge 2 \times \sqrt{4ab}$，$ab \ge 4\sqrt{ab}$，$\sqrt{ab} \ge 4$，$ab \ge 16 -
(3a+4b)_{\min}$：$\dfrac{4}{b}+\dfrac{1}{a}=1 3a+4b=(3a+4b) \times 1 =(3a+4b) \times (\dfrac{4}{b}+\dfrac{1}{a}) =12\dfrac{a}{b}+16+3+4\dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt{12\dfrac{a}{b} \times 4\dfrac{b}{a}}+19=19+8\sqrt 3 -
$4a=b(a-1) b=\frac{4a}{a-1} a-\dfrac{8}{b}=a-(2-\dfrac{2}{a})=a+\dfrac{2}{a}-2 \ge 2 \sqrt 2-2
消元法
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若正数
x,y 满足x^2+xy-2=0 ，则3x+y 的最小值是___x^2+xy-2=0 xy=2-x^2 y=\dfrac{2}{x}-x 3x+\dfrac{2}{x}-x=2x+\dfrac{2}{x} \ge 2 \times \sqrt 4=4 -
已知
5x^2y^2+y^4=1 ，则x^2+y^2 的最小值是___设
x^2=a,y^2=b ，则5ab+b^2=1 5ab=1-b^2 a=\dfrac{1}{5b}-\dfrac{b}{5} b-\dfrac{b}{4}+\dfrac{1}{5b}=\dfrac{4b}{5}+\dfrac{1}{5b} \ge 2 \times \sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{4}{5} -
已知
a,b,c 均为正数，且abc=4(a+b) ，则a+b+c 的最小值为___abc=4(a+b) c=\dfrac{4a+4b}{ab}=\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{a} a+b+c=(a+\dfrac{4}{a})+(b+\dfrac{4}{b}) 把两项分别放缩，得到
a+\dfrac{4}{a} \ge 2 \times \sqrt 4=4 ，b+\dfrac{4}{b} \ge 2 \times \sqrt 4=4 所以
a+b+c \ge 8 -
设
a>2b>0 ，那么\dfrac{a^4+1}{2b(a-2b)} 的最小值是___设
x=2b,y=a-2b ，则xy \le (\dfrac{x+y}{2})^2=(\dfrac{a}{2})^2 所以原式等于
\dfrac{a^4+1}{\dfrac{a^2}{4}}=4a^2+\dfrac{4}{a^2} \ge 2 \sqrt{16}=8
齐次化
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已知
x>0,y>0,x+2y=1 ，则\dfrac{(x+1)(y+1)}{xy} 的最小值为___\dfrac{(x+1)(y+1)}{xy}=\dfrac{(x+x+2y)(y+x+2y)}{xy} =2 \times \dfrac{x^2+4xy+3y^2}{xy} =2 \times (\dfrac{x}{y}+4+\dfrac{3y}{x}) \ge 2 \times (2 \sqrt 3+4)=8+4 \sqrt 3 -
若
x>0,y>0,x+2y=1 ，则\dfrac{xy}{2x+y} 的最大值为___原式
=\dfrac{xy}{(2x+y)(x+2y)} 倒数一下，得到
5+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x} \ge 5+2 \times \sqrt 4=9 则原式的
\max 即为\dfrac{1}{9} -
已知
0<x<1 ，则\dfrac{9}{x}+\dfrac{16}{1-x} 的最小值为___设
x=a,1-x=b ，得a+b=1 所以原式
=\dfrac{9}{a}+\dfrac{16}{b}=\dfrac{(9b+16a)(a+b)}{ab} =\dfrac{9ab+16a^2+9b^2+16ab}{ab} =25+16\dfrac{a}{b}+9\dfrac{b}{a} \ge 25+ \sqrt{144}=25+12=37 -
已知
a>b>c,(a-c)(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{4}{b-c}) 的最小值为___设
a-b=x,b-c=y 则x+y=a-c 原式
=(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}) 化简，得到
1+4\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+4 \ge 5+2 \times \sqrt 4=9
整体思想
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设
a>0,b>0 ，若a+3b=5 ，则\dfrac{(a+1)(3b+1)}{\sqrt{ab}} 的最小值为___可以使用齐次化处理，但是非常的复杂。
化简，得到原式
=\dfrac{3ab+a+3b+1}{\sqrt{ab}}=\dfrac{3ab+6}{\sqrt{ab}} =3 \sqrt{ab}+\dfrac{6}{\sqrt{ab}} \ge 2 \times \sqrt {18}=6 \sqrt 2 -
已知
a>b ，且ab=18 ，则\dfrac{a^2+b^2}{a-b}-1 的最小值是___设
x=a-b ，则原式
=\dfrac{x^2+2ab}{x}-1=x+\dfrac{36}{x}-1 \ge 2 \times \sqrt{36}-1=12-1=11 -
已知
4x^4+9x^2y^2+2y^4=4 ，则5x^2+3y^2 的最小值是___设
a=x^2,b=y^2 ，则(4a+b)(a+2b)=4 。设
X=4a+b,Y=a+2b ，则5x^2+3y^2=5a+2b=X+Y 所以
X+Y \ge 2 \sqrt{XY}=2 \times 2=4
圆锥曲线
椭圆
定义
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两焦点在
x 轴上：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 ，其中右顶点坐标(a,0) ，上顶点坐标(0,b) -
两焦点在
y 轴上：\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1 ，其中右顶点坐标(b,0) ，上顶点坐标(0,a)
椭圆上任意一个位置到两焦点的距离是一个定值，为
焦点到原点的长度记为半焦距
离心率公式：
一些题目
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（
2021 新高考\verb!I! ) 已知F_1,F_2 是椭圆C ：\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF_1| \times |MF_2| 的最大值是___显然
n+m=2a ，a^2=9,a=3 所以
n+m=6 ，因为nm \le (\dfrac{n+m}{2})^2=9 ，所以|MF_1| \times |MF_2| 的最大值为9 -
椭圆
\dfrac{x^2}{49}+\dfrac{y^2}{24}=1 上一点p 与椭圆的两个焦点F_1 和F_2 的连线互相垂直，则\triangle PF_1F_2 的面积为___a^2=b^2+c^2,c^2=25,c=5 n^2+m^2=(2c)^2=100,n+m=14 所以
nm=96,S_{\triangle PF_1F_2}=\dfrac{96}{2}=48 -
已知椭圆
E ：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0) 的左，右焦点分别为F_1,F_2 ，过坐标原点的直线E 交于P,Q 两点，且PF_2 垂直于F_2Q ，S_{\triangle PF_2Q}=\dfrac{1}{2} a^2 ，|PF_2|+|F_2Q|=4 ，则椭圆E 的离心率是___连接
PF_1,F_1Q ，那么PF_1QF_2 是个矩形。\dfrac{1}{2}mn=\dfrac{1}{2}a^2,mn=a^2 m+n=2a,a=2 e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{c}{2} m^2+n^2=(2c)^2=(m+n)^2-2mn=16-8=8 \therefore c^2=2,c=\sqrt 2 \therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt 2}{2} -
（
2022 新高考\verb!I! ）已知椭圆C ：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0) ，C 的上顶点为A ，两个焦点为F_1,F_2 ，离心率为\dfrac{1}{2} ，过F_1 且垂直于AF_2 的直线与C 交于D,E 两点，|DE|=6 ，则\triangle ADE 的周长是___13
公式
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弦长公式：对于已知斜率
k 的直线y ，两个横坐标为x1,x2 的点的距离为\sqrt {1+k^2} \times |x2-x_1| 当椭圆公式与某与该椭圆有交点的一次函数公式联列成一元二次方程
Ax^2+Bx+C=0 时，距离还等于\sqrt {1+k^2} \times \dfrac{\Delta}{|A|}
微积分
微积分诞生于
发明者包括但不限于牛顿等很牛的科学家。
主要是用来帮助人们解决各种速度/面积等实际问题的。
引入
现在有这么一个问题：如何求出某一个函数
这个问题看起来非常的吃了饭没事做难搞。
我们可以以直带曲，把一个曲面改成若干个矩形叠加起来的形式。
发现切割的矩形越多，面积越接近于真实值。
类似于割圆术。
解释
辣么，我们该如何实现呢？
假设我们分割的矩形数趋近于无穷大，设每个小矩形的最大长度为
微积分的符号是一个奇怪的东西，吃了饭没事做发明出来的，意为