0.9循环等于1？关于有理数你不知道的的那些事

前言：笔者是一名初一的学生，前一阵子学完了有理数，人教版教材给了一个 $0.\dot{9} = 1$ 的证明，我看了之后产生了些疑问，于是去查了资料书，找到了不少有用的资料，在整理了之后写在了这篇博客里。 ------------ # 目录： ## 2.循环小数化为整数 ### 2.1 课本上的证明 ### 2.2 有理数、无理数、实数 ### 2.3 戴德金分割与十进制小数 ### 2.4 $0.\dot{9} = 1$ 的证明 ------------ ## 2.循环小数化为整数 ### 2.1 课本上的证明 人教课本上面对于无限循环小数化为分数是这样的方法证明的： 例如： $0.\dot{2} = \dfrac{2}{9}$ 的证明： 解：设 $$0.\dot{2} = x$$ 则： $$0.\dot{2} \times 10 = 2.\dot{2} = 10x$$ 则必有： $$2.\dot{2} - 0.\dot{2} = 10x - x$$ 即： $$9x = 2$$ 所以： $$x = \dfrac{2}{9}$$ 综上，有： $$0.\dot{2} = \dfrac{2}{9}$$ 证毕。 但是这个过程究竟能不能经得住推敲呢？ 答案是否定的。 我们都知道，一个数 $\times 10$ 相当于把小数点向右移一位，那么 $0.\dot{2}$ 的小数位数有 $\infty$ 位，那么 $0.\dot{2} \times 10$ 的小数位数会不会有 $\infty - 1$ 位？而会不会有： $\infty > \infty - 1$ 从而导致 $0.\dot{2} \times 10 - 0.\dot{2}$ 会在小数点后第 $\infty$ 位有 $1$ 呢？ 这涉及了著名的关于无穷概念的悖论，即为：希尔伯特旅馆悖论（ $Hilbert's\ paradox\ of\ Grand\ Hotel$ ），简单地说，就是：无穷大的数是否仍然有四则运算？ 而这个的研究就复杂了，到头来证明仍然不成立（或者说是不够严谨）。 结论：课本上的证明有效，然而进一步证明仍然很复杂，所以对于 $99.9\%$ 的初中生来说是无效的。 ------------ ## 2.2 有理数、无理数、实数 有理数？什么是有理数？它“有理”吗？为什么叫做“有理数”？ 其实这些都是我们对有理数的误解，有理数不是有道理的数，有理数的英文名字为 $\text{rational number}$ （你可以看一下本文的链接），而 $\text{rational}$ 的意思是“合理的”，翻译时出了谬误，结果以讹传讹，结果错误的翻译莫名其妙地成为了标准翻译。。。 其实 $\text{rational}$ 的词根 $\text{ratio}$ 来源于古希腊，译为“比例”，所以 $\text{rational number}$ 的正确翻译应该是“可比数”。 ~~（奇怪的知识增加了）~~ 我在这里说了这么久的废话，其实只是想引出接下来对于有理数的定义：能够表示成两个互质整数的比的数叫作有理数。 （课本上对于有理数的定义是整数和分数统称为有理数，但是其实整数也可以表示为一个整数和 $1$ 的比，所以属于有理数） 而有的数不能表示为两个互质整数的比，例如 $\sqrt{2}$。 这里我来证明一下 $\sqrt{2}$ 不是有理数。 证：假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则根据已知，必有： $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ 且 $(p, q) = 1$ 且 $p , q \in Z+$ （即 $p$ ， $q$ 为整数且互质）。 则必有： $$\sqrt{2} ^ 2 = (\dfrac{p}{q}) ^ 2$$ 即： $$2 = \dfrac{p ^ 2}{q ^ 2}$$ 则必有： $$p ^ 2 = 2 q ^ 2$$ 设 $p = 2 ^ m \times x$ ( $m \in Z$ )，则 $p ^ 2 = 2 ^ {2m} \times x ^ 2$ 则又设 $q = 2 ^ n \times y$ ( $n \in Z$ ) 则 $2q ^ 2 = 2 ^ {2n + 1} \times y ^ 2$ 若有 $p = q$ ，则必有 $2 ^ {2m} = 2 ^ {2n + 1}$，又 $m, n \in Z$， 则 $2m \equiv 0\ (\bmod\ 2)$ ，也有 $(2n + 1) \equiv 1\ (\bmod\ 2)$ 则 $2m \not= 2n + 1$ ，则 $2 ^ {2m} \not= 2 ^ {2n + 1}$ ，与已知矛盾。 所以 $\sqrt{2}$ 不是有理数。