不等式
peppaking8
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1.绝对值不等式
|\ |a|-|b|\ |\le |a\pm b|\le |a|+|b|
|a_1+a_2+...+a_n|\le |a_1|+|a_2|+...+|a_n|
2.浓度不等式
若 b>a>m>0，则
\begin{cases}\dfrac{a}{b+m}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{b-m}\\\\ \dfrac{a-m}{b-m}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+m}{b+m}\end{cases}
3.幂平均值不等式
若 a_1,a_2,...,a_n 为 n 个正数，定义 P(m)=\sqrt[m]{\dfrac{a_1^m+a_2^m+...+a_n^m}{n}}，则对于任意的 x,y\in \mathbb{Z} 满足 x<y ，均有 P(x)\le P(y)，取到等号当且仅当 a_1=a_2=...=a_n。
4.平均值不等式
对于上面的幂平均值不等式，取 x=-1,0,1,2 （其中 x=0 为 x\rightarrow0），则有平均值不等式：
若有 a_1,a_2,...,a_n>0，定义
调和平均值 H_n=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}；
几何平均值 G_n=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n};
算术平均值 A_n=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}；
平方平均值 Q_n=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}；
则H_n\le G_n\le A_n\le Q_n，取到等号当且仅当a_1=a_2=...=a_n。
5.柯西不等式
设a_1,a_2,...,a_n和b_1,b_2,...,b_n都是实数，则
(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)
当且仅当 a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n\ne 0 且 \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n} 时取到等号。
6.卡尔松不等式
此不等式为柯西不等式的推广，所以也叫作“广义柯西不等式”。
(x_1+y_1+...)(x_2+y_2+...)...(x_n+y_n+...)\ge [(\prod\limits_{i=1}^n x_i)^{\frac{1}{n}}+(\prod\limits_{i=1}^n y_i)^{\frac{1}{n}}...]^n
当 n=2 时即为柯西不等式。
7.排序不等式
设实数数列 a_1\le a_2\le ...\le a_n，b_1\le b_2\le ...\le b_n，集合 \{ i_1,i_2,...,i_n\}=\{ 1,2,...,n\} ，记
\begin{cases}A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\\B=a_1b_{i_1}+a_2b_{i_2}+...+a_nb_{i_n}\\C=a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1 \end{cases}
则 A\ge B\ge C。
通常，我们将A称作“同序和”，B为“乱序和”，C为“逆序和”。
8.琴生不等式
设 f(x) 是区间 D 上的严格凸函数，则对于任意的 x_1,x_2,...,x_n\in D，都有
f(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})\le \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}
反过来，当 f(x) 是区间 D上的严格凹函数，则
f(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})\ge \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}
两式取到等号当且仅当 x_1=x_2=...=x_n。
9.权方和不等式
设 a_1,a_2,...,a_n 和 b_1,b_2,...,b_n 都是正实数，且 m\in \mathbb{N}^+，则
(\dfrac{a_1^{m+1}}{b_1^m}+\dfrac{a_2^{m+1}}{b_2^m}+...+\dfrac{a_n^{m+1}}{b_n^m})(b_1+b_2+...+b_n)^m\ge (a_1+a_2+...+a_n)^{m+1}
等号成立当且仅当\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}。
10.杨氏不等式
若 p,q>1 且 \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=q，那么对于任意的非负实数 a,b，均有
\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\ge ab
11.赫尔德不等式
设正实数 p,q 满足 \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1，则对于任意 2n 个正实数 a_i,b_i(1\le i \le n)，均有
a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\le (a_1^p+a_2^p+...+a_n^p)^{\frac{1}{p}}\times (b_1^q+b_2^q+...+b_n^q)^{\frac{1}{q}}
12.舒尔不等式
已知实数 a,b,c 和正实数 r，则
a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\ge 0
特别地，当 r=1 时，其等价于三元不等式
(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\le abc
13.伯努利不等式
设实数 x>-1 和实数 n\ge 0，则
\begin{cases}(1+x)^n\ge 1+nx&n\ge 1\\(1+x)^n\le 1+nx&0\le n\le 1\end{cases}
14.s-p-q公式
设 a_1,a_2,a_3>0。定义 s=a_1+a_2+a_3，p=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1，q=a_1a_2a_3，则
\begin{cases}ps\ge 9q\\s^2\ge 3p\\s^3+9q\ge 4sp\\p^2\ge 3sq\end{cases}
15.闵可夫斯基不等式
设a_1,a_2,...,a_m,b_1,b_2,...,b_m>0，则：
\sqrt{(a_1+a_2+...+a_m)^2+(b_1+b_2+...+b_m)^2}\le \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a_m^2+b_m^2}
16.艾尔多斯—莫迪尔不等式
设 P 为 \triangle ABC 内部或边界上一点，P 到三边的垂线段为 PD,PE,PF。则
PA+PB+PC\ge 2(PD+PE+PF)
取到等号当且仅当 \triangle ABC为正三角形且 P 为三角形中心时。
17.托勒密不等式
凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积。
设凸四边形 ABCD，则有 AC\times BD\le AB\times CD+AD\times BC
取到等号当且仅当 ABCD 为圆内接四边形。
18.外森比克不等式
若 \triangle ABC 中，a,b,c 为三角形三边长，S 是三角形面积，
则a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S。
取到等号当且仅当 \triangle ABC 为等边三角形。
19.欧拉不等式
设 \triangle ABC 外接圆与内切圆的半径分别为 R,r，则 R\ge 2r 。
取到等号当且仅当 \triangle ABC 为等边三角形。
20.嵌入不等式
设 x,y,z 是实数，A+B+C=(2k+1)\pi，其中 k\in \mathbb{Z}。则
x^2+y^2+z^2\ge 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C
等号成立的充要条件是 x=y\cos C+z\cos B 且 y\sin C=z\sin B。