数学草稿纸
感觉有参考价值，留着了。有大量跳步。若有误欢迎各界大佬批斗我。
偶尔更新。目前进度：5题，其中第4题跳了
1
作△APC外接圆，交AM于另一点N，易证B,P,Q,N四点共圆
所以∠APC=∠ANC=∠BNA=180°-∠BPQ，证毕
2
辅助线如下图。
延长PQ，在PQ上取点N,M，使得CN//BQ,DM//AQ，显然可得M,N是重合的。将M,N两点重新记为点K。
过点Q作TQ⊥BQ，T在KD延长线上，连接CT，CK
∠CQT＝∠CDT，所以CQDT四点共圆，CQ=DQ，CK⊥TQ,所以TK=QK
∴∠PQA=∠PKD=2∠QTD=2∠QCD
证毕
3
辅助线如下图。
倍长DP至点T，连接CT,QT。
BD||CS||TQ，所以图中蓝色的角相等，所以ACTQ四点共圆
所以∠R+∠CSQ=∠CAQ＋∠CTQ=180°
证毕
4
还不会，还在想。
5
比较基础。
证明四点共圆，可以考虑证明∠MGE+∠MPE=180°即可
MA为∠BAC角平分线，AD与AF关于AM对称且相等，容易推出DM=FM，又BD=GC，又可推出DM=MG。
∠MFA=∠MDA=∠ADC+∠DGM=∠ABE+∠DGM
所以只需证：∠ABE=∠CGE即可
只需证明△ABE∽△ADC即可。此处易证，略过。