浅谈导数
Chase12345
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算法·理论
六年级学生花了两个月时间进行了整理，完成了这份学习笔记。
制作不易，球球各位点个赞吧 qwq。附上偏导数笔记。
函数前置知识
为了防止观看此文章的人不理解，我十分贴心地为大家准备了前置知识。
区间
区间分为三种，分别为开区间，闭区间，半开半闭区间。
- 开区间，可以用 (a,b) 表示。更加容易理解地，如果 x \in (a,b)，则 a<x<b。
- 闭区间，可以用 [a,b] 表示，更加容易理解地，如果 x \in [a,b]，则 a \le x \le b。
- 半开半闭区间，可以用 [a,b) 或者 (a,b] 表示。其实就是上面两种区间的结合体。
函数定义域
对于函数 f(x)，我们通常会有一个定义域，也就是我们在定义域外这个 f(x) 是没有意义地。
例如 f(x)=\sqrt{x}，如果要求所有 f(x) 都是实数，那么我们可以知道这个 f(x) 的定义域就是 [0,+\infty)。
函数的值域
我们可以理解为在函数 f(x) 定义域内的所有数形成的集合就是 f(x) 的值域。这一点不难理解。
例如对于函数 f(x)=\sqrt[3]{x}，定义域为 [0,8]，则值域为 [0,2]。
垂线检验
这是一个确定一个图象是否为函数的东西。
回顾函数的画法，描出多个点 (x,f(x))，连起来，形成函数图象，可是我们知道对于一个 x，不应该存在多个 f(x)，这就是函数。
那么例如 x^2+y^2=4
垂线检验，发现对于 x，存在多个 f(x)，这并不符合函数的性质。所以这并不是一个函数。
反函数
我们定义一个函数 f(x) 的反函数为 f^{-1}(x)。举个例子，\sin(x) 的反函数为 \arcsin(x)。
先说明 y=f(x)，则反函数 f^{-1}(x) 应该满足的是 f^{-1}(y)=x。
例如这个。红色曲线为 f(x)=2^x，蓝色曲线为 g(x)=\log_2(x)。此时它们互为反函数。
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。这很重要。
函数的复合
函数的复合是一个用于简化式子的一个东西，例如对于函数 f(x)=\sin(x^{99})，我们可以使用复合函数简化，例如 f(x)=g(h(x))，其中 g(x)=\sin(x)，h(x)=x^{99}。这将在后续被用到，是十分有用的技巧。
奇偶函数
这里简单带过一下，性质是可以自己理解的，这里就不放了。
奇函数
如果 f(x) 是奇函数，则 f(-x)=-f(x)。
图中为 f(x)=x^3 和 g(x)=\sin x。特殊点：对于奇函数 f(x)，有 f(0)=0。
偶函数
和奇函数相反地，如果 f(x) 为偶函数，则 f(x)=f(-x)。
图中为 f(x)=x^2 和 g(x)=\cos x。
注意奇偶函数重要的是定义域必须关于 0 对称。不然也满足不了。
三角函数
先简单复习一下三角函数里面所有的内容。这将在后面的内容中大量使用。由于是前置知识，想看证明的这里没有参考其它文章谢谢。
这里我默认各位都有简单初中的三角函数知识了。也就是一些特殊角三角函数数值我将不会重复介绍。
诱导公式请看链接。
弧度制
这是一个在计算机中通常用到的制法。
我们打开计算器，发现 \sin(60) 并不是 \frac{\sqrt 3}{2}，而是一串不知道是什么的数字。你可能会怀疑，这到底是什么东西？
这就是弧度制。
例如，旋转一周，我们在弧度制中会说成 2 \pi \text{弧度}，而并非 360°。这里我们将 \pi \text{弧度} 定义为我们所熟知的 180°。
打开计算器，这个时候我们就知道了 60° 是 \frac{\pi}{3} \text{弧度}，输入 \sin(\frac{\pi}{3}) 的时候，我们就十分开心地得到了我们想要的 \frac{\sqrt 3}{2}。
一些特别的三角函数
这个部分讲到了一些钝角三角函数或者是一些更大的角度，例如 4\pi\text{弧度}，这种角度我们该怎么弄呢？
这就要回到三角函数的定义了。其实锐角三角函数是对现在有铺垫的，因为三角函数是有周期性的。详见前面奇函数和偶函数部分给出的链接中 \sin(x) 和 \cos(x) 的图象，不难发现以 2\pi 为周期。
恒等式
以下列举几个常用的公式，主要用于后续的恒等变换。这里列举和差角、和差化积、积化和差公式。（其实是我被人嘲讽之后学习的。。。）
和差角公式（\sin 和 \cos）：
\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm\cos(A)\sin(B)\\
\cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp\sin(A)\sin(B)
欸，通过这个我们就可以理解 n 倍角公式了。
接下来到积化和差公式了。
\cos(A)\sin(B)=\frac{\sin(A+B)-\sin(A-B)}{2}\\
\cos(A)\cos(B)=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}\\
\sin(A)\sin(B)=-\frac{\cos(A+B)-\cos(A-B)}{2}\\
\sin(A)\cos(B)=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}
那么显然地，就到了反推公式，反过来，就可以得到和差化积公式了。
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\\\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)\\\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\\\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
极限
终于讲完了前置知识，进入正题。
双侧极限
考虑一个函数 f(x)=2x，当 x \neq 5 时。
欸，这个函数好像有点奇怪。于是，我们计算 f(5)。可是我们却发现 5 不在 f(x) 的定义域中，也就是我们称 f(5) 没有意义。
那么 f(5-\varepsilon) 或者 f(5+\varepsilon)（这里 \varepsilon 是一个极小值）是不是可以无限接近 10 但始终无法到达 10 呢？这就是极限。那么我们可以写出这样一个式子：
\lim_{x \to 5}f(x)=10
换一种写法，就是：
\text{当 } x \to 5 \text{ 时，有 } f(x) \to 10
这里 x 仅仅是个变量，而非必定需要用这个 x。我们称这个是双侧极限。
左右极限
接下来给出两个式子：
\lim_{x \to 5^+} f(x)\\
\lim_{x \to 5^-} f(x)
你可能会问：这两个是个什么鬼东西？
其实这就是左右极限。
第一个式子，我们定义他是 x 从右侧趋近 5，也就是 x>5。
第二个式子，我们定义他是 x 从左侧趋近 5，也就是 x<5。
比较特殊的情况
那么给出有趣的反比例函数的图象 f(x)=\frac{1}{x}。
这个时候，我们可以十分容易地求出：
\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty\\
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty
这一点参考图象就能发现了。
但是这个时候，我们惊奇地发现：
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}
又怎么求呢？欸，左右极限不同，那么这个值是不存在的，也就是可以写成：
\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \text{ 不存在}
我们也确实可以观察图象，并不能找到这个极限。
接下来来到一些分段函数。
考虑上面的 f(x)=2x，当 x \neq 5 时。修改一下定义，在 x=5 时，x=20.
请注意我们要知道极限的定义并不是在该点处取得的值。
所以我们仍然可以得到：
\lim_{x \to 5} f(x)=10
请注意这一点不能错。
接下来让我们看一个更加奇怪的函数：f(x)=\cos(\frac{1}{x})。
我们这个时候看到图像，发现一直在震荡。。。
我们可以证明，这个函数在 0 处不存在极限。
水平渐近线
先给出其定义。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于正负无穷的时候，f(x) 趋近 a，那么 y=a 就是曲线的水平渐近线。
举个例子：f(x)=\frac{1}{x}，当 x \to \pm \infty，f(x) \to 0，所以 y=0 为 f(x)=\frac{1}{x} 的水平渐近线。
这里可能有误区（不过可能只有我会犯这个错了）：一个函数左右两边不一定有相同的水平渐近线。反例：f(x)=\arctan(x)。如图。
另一个可能的误区就是函数不可能与其渐近线相交。请注意这不一定。例如 y=\frac{\sin(x)}{x}，其两条渐近线分别为 y=\frac{1}{x} 和 y=-\frac{1}{x}。请看图。
顺便观察一下：y=\frac{\sin(x)}{x}，从图上看到的结论就是：
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}=0
证明的话，等讲完之后的夹逼定理你就会了。
夹逼定理
定理内容
这个内容说的是在一点 x，取一个十分接近（这里定义有点主观）的点 a，满足，函数 g(a) \le f(a) \le h(a)，且满足：
\lim_{x \to a} g(x)=\lim_{x \to a} h(x)=L
则：
\lim_{x \to a} f(x)=L
简单证明
根据极限的定义，我们要证的可以化为这个东西：
\forall \varepsilon>0,\,\exists \delta>0,\,\text{使得当 } 0 <|x-a|<\delta \text{ 时，有 } |f(x)-L|<\varepsilon
怎么证明呢：
由 \lim_{x \to a} g(x)=L，则显然地，对于任意的 \varepsilon>0，存在 \delta_1 >0，使得当 0<|x-a|<\delta_1 时，|g(x)-L|<\varepsilon，即 L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon。
对于 h(x) 的处理同理。
考虑取 \delta=\min(\delta_1,\delta_2)，则结合两个得出的条件（对 g(x),h(x) 的处理得出的条件），可以得到：L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon。证毕。
是不是十分简单呢？
接下来考虑运用。
我们看一下这个无聊的极限：
\lim_{x \to 0^+}x \sin\left(\frac{1}{x}\right)
先给出这个函数 f(x)=x \sin\left(\frac{1}{x}\right) 的图象。并给出其两条渐近线。
我们不难发现，这个时候可以使用夹逼定理。
我们注意到它们都在 $0$ 处收敛于同一值，则可以用夹逼定理。也就是说：
$$
\lim_{x \to 0^+}x \sin\left(\frac{1}{x}\right)=0
$$
真的很无聊！
考虑上面的 $y=\frac{\sin(x)}{x}$。
我们发现了：
$$
-\frac{1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}
$$
很有趣的现象捏！注意到当 $x \to \infty$，$-\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 的极限均为 $0$。也就是这样我们就得出了：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}=0
$$
开心！
简单极限也到此为止。下一步来到有理函数极限。
## 补充一：极限的更好的定义
我们的极限是有一个叫做 $\varepsilon-\delta$ 定义的，也就是我们对于函数 $f(x)$ 和点 $a$，假设 $\lim_{x \to a}f(x)=L$，若满足对于任意小的举例 $\varepsilon>0$，总能找到一个距离 $\delta >0$，使得当 $x$ 和 $a$ 的距离小于 $\delta$ 且大于 $0$ 时，$f(x)$ 和 $L$ 的距离必定小于 $\varepsilon$。
## 补充二：函数的连续性
这一部分十分重要。因为有一个好消息：如果要取某个函数的某一点的极限，如果有定义，则可以直接取这一点的值作为极限的值。
我们定义一个函数 $f(x)$ 在 $c$ 点处连续，当且仅当满足：
* $f(c)$ 存在。
* $\lim_{x \to c} f(x)$ 存在。
* $\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$。
其实通过直观理解，我们不难发现，如果函数 $f(x)$ 在 $c$ 点处连续，则在图上观察，可以发现其在 $c$ 点处完全没有跳跃或间断。
根据上面极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义，连续性使得这个结论正确：
> 如果要取某个函数的某一点的极限，如果有定义，则可以直接取这一点的值作为极限的值。
## 多项式极限
这一部分~~最好不要用洛必达~~是一些技巧性的化简方法。
### 例题一
求：
$$
\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x-2}
$$
这个甚至不需要技巧，强行代入就行了。得到结果：$0$。
### 例题二
其实就是例题一的强化版。但是请注意如果是想练习化简技巧的请不要使用洛必达法则。
求：
$$
\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x-3}
$$
再次代入，发现炸了，分母为 $0$。怎么办呢？欸，这个时候学到初中的因式分解就有用了：
$$
\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2
$$
欸，那么极限就变成了：
$$
\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x-3}=\lim_{x \to 3} \left(x-2\right)=1
$$
则结果为 $3$。这个方法放在例题一同样适用。
### 例题三
这个主要是为了让大家复习一下小学学过的简单因式分解。
求：
$$
\lim_{x \to 2} \frac{2x^6+x^5-12x^4-4x^3+16x^2+4x-8}{x^3+x^2-4x-4}
$$
这里分解的过程请自己复习。使用因式定理和待定系数分别分解分子分母。
则原式变为
$$
\lim_{x \to 2} \frac{2x^6+x^5-11x^4-6x^3+16x^2+4x-8}{x^3+x^2-4x-4}=\frac{(x+1)(x-2)(2x^4+3x^3-4x^2-4x+4)}{(x+1)(x+2)(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{2x^4+3x^3-4x^2-4x+4}{x+2}= 9
$$
是不是很简单呢？还没完呢！你难道没发现这些都是整数指数吗？
### 例题四
求：
$$
\lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x^2-36}-8}{x-10}
$$
发现得到 $0/0$ 式。~~开洛~~不要着急洛必达。注意到共轭。考虑：
$$
\lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x^2-36}-8}{x-10}=\lim_{x \to 10} \left(\frac{\sqrt{x^2-36}-8}{x-10} \times \frac{\sqrt{x^2-36}+8}{\sqrt{x^2-36}+8}\right)=\lim_{x \to 10} \frac{x+10}{\sqrt{x^2-36}+8}=\frac{5}{4}
$$
结束。
### 例题五
和之前不一样的是：这个题目时在 $x$ 趋近于 $+\infty$ 时取的极限。和我们之前的练习题略有不同。
先让我们看一个结论。
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{C}{x^n}=0
$$
此处 $C$ 为常数，$n \in \mathbb{N^+}$。
为什么呢？我们回顾之前的反比例函数，发现它的 $\frac{1}{x}$ 也会逐渐趋近 $0$。那么这个结论也就不难理解了。
例题：
求证：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+5x+7}{x^4}=0
$$
这个时候我们直接除上去，发现：
$$
\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}+\frac{7}{x^4}\right)=0
$$
此处应用上面的结论。没了。十分简单。
### 例题六
自行完成：
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3-2x+1}{-2x^3+5x^2-4}
$$
与上题不同的地方在于此处取的极限是在趋近于负无穷处的。
做法：同时提取主导行为，提取分子分母的 $x^3$：
$$
\frac{3x^3-2x+1}{-2x^3+5x^2-4}=\frac{3-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{-2+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^3}}
$$
后面几项趋近于零，可忽略。所以得出结果为 $-\frac{3}{2}$。
### 例题七
考虑绝对值极限。
$$
\lim_{x \to 5} \frac{|x-5|}{x-5}
$$
分别考虑左右极限。
$$
\lim_{x \to 5^-} \frac{|x-5|}{x-5}=\lim_{x \to 5^-} \frac{5-x}{x-5}=-1
$$
右极限同理。得到 $1$。
发现 $1 \neq -1$，所以原极限并不存在。开心！那么极限这一部分就告一段落了。
# 介值定理
## 定理内容
如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，并且 $f(a)<0$ 且 $f(b)>0$，那么至少存在一个点 $c$，使得 $f(c)=0$。代之以 $f(a)>0$ 且 $f(b)<0$ 同样成立。
可以将 $0$ 变成任意的 $t$ 同样成立。
## 简单证明
连续函数是可以证明在区间 $[a,b]$ 能取遍所有 $[f(a),f(b)]$ 中的所有实数。证毕。
# 最大值最小值定理
## 定理内容
如果函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，那么其在 $[a,b]$ 存在一个最大值和最小值。
## 简单证明
由函数的连续性必然可以得证。
# 结合物理的运动学中的极限理解导数
所谓导数其实也是由极限定义的。让我们先看几个例子。
## 例子一
一个质点，做匀变速运动，对于时间 $t$，它的位移由一个多项式 $f(t)$ 确定。求时间 $[a,b]$ 的平均速度。
复习物理：$\overline{v}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$。代入公式：
$$
\overline{v}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$
是不是很简单呢？
## 例子二
同样如上，只是平均速度改为瞬时速度。
回顾定义：一个质点在某一**时刻**的速度。
注意到这个时候时间间隔变成了时刻。
怎么办呢？欸，那么我们是不是可以考虑取到某个点和这个点的平均速度来表示这个点的瞬时速度呢？
但是发现这并不严谨。那么我们逐渐接近，就会越来越严谨。
假设现在要取某个点 $x$ 的瞬时速度。可以考虑一直逼近。回顾极限，我们可以取一个点，十分接近 $x$ 的。例如 $x\pm\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是一个非常小的数字。
欸，这样瞬时速度就表示出来了。
$$
v=\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x)-f(x-\varepsilon)}{\varepsilon}
$$
假设 $f(x)=x^2$，继续观察。
通过上面公式可以计算得到在 $x=1$ 时候 $v=2$。观察所有斜率为 $2$ 的直线，发现有一条是切线，并且切于 $(1,1)$！我们可以猜测这个公式求的就是 $f(x)$ 在某一点处切线的斜率。
继续看，$x=2$ 时，可以计算 $v=4$。观察所有斜率为 $4$ 的直线，欸，也有一条切线！并且切于点 $(2,4)$。可以自己看看。
那么我们就可以合理猜测这个结论了！接下来让我们证明一下。
我们首先发现，如果这个 $\varepsilon$ 是平凡的，那么这个求的就是通过 $(x,f(x))$ 和 $(x-\varepsilon,f(x-\varepsilon))$ 两点的一条割线的斜率。
由极限的定义，$\varepsilon$ 趋于 $0$，也就是这条割线会逐渐变成切线直到完全变成割线，证毕！
然后我们就很开心地定义了 $f(x)$ 在 $x$ 点处的导数为：
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
这里替换了一些变量，不会有特别大的影响，并且你的这个减号变成加号，其实通过极限的定义，并没有任何影响。
## 导函数
导函数顾名思义，原函数求导所得的函数。
那么 $f(x)$ 的导函数就是 $f'(x)$。
有什么规律呢？
### 例题一
求 $f(x)=x^2$ 的导函数。
让我们直接用定义求：
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)(h)}{h}=\lim_{h \to 0} (2x+h)=2x
$$
比德芙还要丝滑！
### 例题二
求 $f(x)=x^n$ 的导函数，其中 $n \in \mathbb{N^+}$。
先给出 $n$ 次方差公式：
$$
a^n-b^n=(a-b)\left(\sum_{i=0}^{n-1} a^ib^{n-1-i}\right)
$$
通过这种方式来化简：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h\left(\sum_{i=0}^{n-1}(x+h)^ix^{n-1-i}\right)}{h}=\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}(x+h)^ix^{n-1-i}\right)
$$
发现这个时候 $h$ 似乎无关紧要，也就是说，我们继续化简：
$$
\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}(x+h)^ix^{n-1-i}\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}x^ix^{n-1-i}\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}x^{n-1}\right)=nx^{n-1}
$$
欸，简单了很多耶！
### 例题三
这个时候必定有人好奇，既然 $n \in \mathbb{N^+}$ 成立，那么 $n \in \mathbb{C}$ 是否成立呢？（这里 $\mathbb{C}$ 是复数域）证明可以在后面讲完微分之后再看。
证明：
> 有一个结论：$\ln(x)$ 在任意位置都连续。
>
> 设 $f(x)=x^n$。
>
> 注意到 $x^n=e^{n \ln x}
那么
f(x+h)=e^{n \ln (x+h)}=e^{n(\ln x+\ln(1+\frac{h}{x}))}=x^ne^{n\ln(1+\frac{h}{x})}
所以：
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^n(e^{n \ln (1+\frac{h}{x})})-1}{h}
令 t=\frac{h}{x}，则 h=xt，当 h \to 0,t \to 0，化为：
\frac{x^n(e^{n \ln (1+t)}-1)}{xt}=x^{n-1}\frac{e^{n \ln (1+t)}-1}{t}
注意到：\ln(1+t) \approx t-\frac{t^2}{2}+\cdots，则：
e^{n \ln (1+t)} \approx e^{nt} \approx 1+nt+O(t^2)
所以：
\frac{e^{n \ln (1+t)}-1}{t} \approx \frac{1+nt-1}{t}=n
所以：
\lim_{t \to 0}\frac{e^{n \ln (1+t)}-1}{t}=n
所以
\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{n}-x^n}{h}=nx^{n-1}
证毕。
上面是一种如果真的不想用隐函数的做法。
另一种做法：直接取 \ln。
\ln y=\ln(x^n)=n\ln x
两边求导，隐函数求导。
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln y)=\frac{1}{y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(n \ln x)=\frac{n}{x}
注意这里 n 是常数。
所以，这个时候，将 y 挪过去：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{yn}{x}=nx^{n-1}
证毕。
导数表示方式
这里列举几种，表示 y=f(x) 函数的导数。
后面两种请不要和分式混淆了。这个表示方法将在后面用到。请记住。
高阶导数
对于 f(x) 的一阶导，就是 f'(x)。
这里若干阶导数就是求几次导数。并不是什么特别高级的东西。
考虑二阶导。是否可以考虑 f''(x) 这样的东西呢？答案是肯定的。是可以这样说的。
同样，对于函数 y=f(x)，我们可以这样表示：
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(f(x))
对于 n 阶导，我们可以这样表示：
\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}=\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(f(x))=f^{(n)}(x)
请注意最后一种表达方式也是正确的。
左右导数
其实这玩意儿和左右极限有关系。就是和导数完全一样的定义。
左导数：
f'_-(x)=\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
右导数：
f'_+(x)=\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
欸，我们就可以将普通导数改为双侧导数了！那么我们也就是可以认为：如果左右导数相等，必定存在双侧导数。反之同样。
可导性和连续性
让我们观察一下两种性质有什么关系。
第一部分
连续函数是否一定可导？显然不一定。一个反例：
f(x)=|x|
这个时候注意到连续性：
\lim_{x \to 0^-}|x|=\lim_{x \to 0^+}|x|=0=f(0)
所以 f(x) 在 0 处连续。
但是我们发现，x=0 处，左导数和右导数：
f'_-(0)=\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|-|0|}{h}=-1\\
f'_+(0)=\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h|-|0|}{h}=1
不等。所以不可导。发现：
连续函数不一定可导。
第二部分
可导函数是否一定连续？是的。上证明！
设函数 f(x) 在 x=a 处可导，由导数的定义，有：
\lim_{h \to 0}\left(f(a+h)-f(a)\right)=\lim_{h \to 0} \left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h \right)
注意到 \lim_{h \to 0} h =0，则：
\lim_{h \to 0} \left(f(a+h)-f(a)\right)=f'(a) \cdot 0=0
则
\lim_{h \to 0} f(a+h)=f(a)
请一定要理解这个证明。
各种求导的法则
有很多求导的法则能让我们的计算变得更加简单。
加法法则
这是导数里面非常重要的一个东西。
先给出一种：如果 f(x)=g(x)+h(x)，则
f'(x)=g'(x)+h'(x)
另一种写法，也是比较简单的：如果 y=u+v，则
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}x}
请注意这不是分式。
证明：
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)+h(x+\Delta x)-g(x)-h(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}=g'(x)+h'(x)
中间拆成两个完全独立的极限的和，是依赖于极限加法法则，显然正确。
这个是最最基本的法则，也可以推广到多个导函数的加法法则。这里就不给推广定理的证明了，比较类似，真的。
乘法法则
如果 f(x)=g(x)h(x)，则：
f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
另一种，对于 y=uv，有：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}
通过极限的定义比较显然。为了节省空间这里不写了。
请注意这里也是可以推广的，请应用轮换式进行推广。
商法则
如果 f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}，则：
h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
同样的，有另一种写法，如果 y=\frac{u}{v}，则
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}-u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}}{v^2}
证明是容易的。
链式法则
这个是非常重要的一点。请熟背。
如果 h(x)=f(g(x))，则：
h'(x)=f'(g(x))g'(x)
另一种写法，如果 y 是 u的函数，u 为 x 的函数，则：
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}
你可以继续尝试扩展，也并不是不可以。此处同样使用定义法可以证明。
简单应用
求 f'(x)，其中：
f(x)=\sqrt{x^2+\sin(3x)} \cdot \cos(x)
自行完成。答案：
f'(x)=\frac{(2x+3\cos(3x))\cos(x)-2(x^2+\sin(3x))\sin(x)}{2\sqrt{x^2+\sin(3x)}}
极值
这一部分似乎是高中校内的，所以不细讲。
极值的定义：对于函数 f(x)，若 k 的某个邻域内所有 f(x) 都不大于 f(k)，则称 k 为一个极大值。对于极小值，同理。
那么怎么求极值点？首先，我们需要定义一个东西，驻点。即 f'(x)=0 的 x。如下图。
此时，f(x)=-x^2+1，f'(x)=-2x。在 (0,1) 处切线方程为 y=1。斜率为 0。也即 f'(0)=0，发现 0 的左邻域的 f'(x) 均不小于 0，右邻域 f'(x) 均不大于 0，此时 x=0 为一个极大值点。
对于极小值点，此处再举一个例子。如图。
这里 f(x)=x^2+1，在 (0,1) 处切线方程为 y=1，可以发现，0 的左邻域内的 f'(x)<0，右邻域内的 f'(x)>0。且通过观察不难发现，(0,1) 为 f(x) 的极小值点。
还有两种情况：鞍点和非极值点。
鞍点
如果 f'(x) 在 x=k 时无意义，则 f(k) 为一个鞍点。
由于我太菜了，给不了一个一元函数鞍点的例子。
非极值点
刚刚也讨论过了，几种情况：
| 左邻域 f'(x) 符号 |
右邻域 f'(x) 符号 |
极大/极小/非 |
| + |
- |
极大 |
| - |
+ |
极小 |
| + |
+ |
非 |
| - |
- |
非 |
举个例子。三次函数 f(x)=x^3 和 f(x)=-x^3。
此图中，f(x)=x^3。且在 (0,0) 处切线方程为 y=0。f'(0)=0。然而这个时候 (0,0) 并不是极值点。看图可知。即表格中的第三种情况。
此图中，f(x)=-x^3。同上。(0,0) 非极值。然而 f'(0)=0。即表格中的第四种情况。
单调性
其实，这个时候各位应该就知道了。注意到几何意义。可以得到：
- 对于区间 I，若 \forall x \in I \space f'(x)>0，则 f(x) 在 I 上单调递增。
- 若 \forall x \in I \space f'(x)<0，则 f(x) 在 I 上单调递减。
凹凸性
凹函数
我们定义一个函数为凹函数，当且仅当函数图象中任意两点连线都在图象之下，则称此函数为凹函数。如图。二次函数 f(x)=-x^2。这很显然。
凹函数的性质：设定义域为 I，则 \forall x \in I \space f''(x) \le 0。
凸函数
我们定义一个函数为凸函数，当且仅当函数图象中任意两点连线都在图象之上，则称此函数为凸函数。如图。二次函数 f(x)=x^2。
性质：\forall x \in I \space f''(x)\ge0。
非凹非凸
此时，我们可以分别看 f''(x) 在每个区间内的变化。若在 I 区间内，f''(x) \ge 0 恒成立，则此时为凸区间。若 f''(x) \le 0 恒成立，此时为凹区间。
似乎没什么卵用。
这些就是高中的内容。接下来，让我们看一道 2025 高考导数压轴。
例题
设函数 f(x)=5\cos x-\cos 5x。
- 求 f(x) 在 [0,\frac{\pi}{4}] 上的最大值。
- 给定 \theta \in (0,\pi)，设 a 为实数，证明：存在 y \in [a-\theta,a+\theta]，使得 \cos y \le \cos \theta。
- 若存在 \varphi 使得对任意 x，均有 5\cos x-\cos(5x+\varphi) \le b，求 b 的最小值。
为什么有人说很难啊。我做了 5 分钟还被嘲讽了。
第一问
直接求导。f'(x)=5(\sin 5x-\sin x)=10 \cos 3x\sin 2x。如果不会，请看前面的三角函数章节。
驻点为 x=0 和 x=\frac{\pi}{6}。经过验证，f(x) 在 [0,\frac{\pi}{6}) 单调增，(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}] 上单调减。
所以 f(x) 在 [0,\frac{\pi}{4}] 上的最大值为 f(\frac{\pi}{6})=3\sqrt 3。且恰好为全局最大值。
第二问
情况一
存在 (2k+1)\pi \in [a-\theta,a+\theta]，k \in \mathbb{Z}。
#### 情况二
剩余情况。
不妨设 $a \in (-\pi,\pi)$，其余情况可以简单地通过周期性进行扩展。
很难不发现 $\cos x=\cos(-x)$ 且 $y= \cos x$ 在 $(-\pi,0)$ 上单增，$(0,\pi)$ 上单减，所以在 $x \in (-\pi,\pi)$ 时，只需看 $|x|$ 的大小。$|x|$ 大则 $\cos x$ 小，$|x|$ 小则 $\cos x$ 大。
注意到 $|a+\theta|$ 和 $|a-\theta|$ 必有一个不比 $\theta$ 小 。所以存在 $y \in [a-\theta,a+\theta]$ 使得 $\cos y \le \cos \theta$。
### 第三问
用脚趾都能想到要用前两问的结论。
当 $\varphi=0$ 时，$b \ge 3 \sqrt 3$。
取 $\theta=\frac{5\pi}{6}$。设 $a=\varphi$，为了不重，设 $\varphi \neq 0$。由（2）有：$\exist y' \in [\varphi -\frac{5\pi}{6},\varphi+\frac{5\pi}{6}] \space \cos y' \le \cos \frac{5\pi}{6}$。
呃呃别看到 $'$ 就觉得是导数，这里就单纯想这样写而已 qwq。
设 $x'=\frac{y'-\varphi}{5}$，有 $|x'| \le \frac{\pi}{6}$。所以此时的 $x'$ 代入到原来的式子有 $5\cos x'-\cos(5x'+\varphi)=5\cos x'-\cos y' \ge 3\sqrt 3$。所以 $b_{\min}=3\sqrt 3$。
是不是很水呢？所以真的没有那么难啊 qwq。
三角函数求导
接下来是十分重要的章节，很多考试都会考到。
基本的三角函数的导数
请熟记。
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## 反三角函数
所谓反三角函数其实就是三角函数的反函数。
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这些已经足够用了。剩下三个就不列举了。有兴趣的话请自己搜索。
双曲三角函数
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例题
接下来讲完铺垫，让我们来到实践部分。
例题一
f(x)=\sin(3x^2+2x)
求 f'(x)。
例题二
f(x)=x^2\cos x
求 f'(x)。
例题三
f(x)=\frac{\tan x}{1+\sin x}
求 f'(x)。
例题四
其实这里可能涉及到后面的指数、对数函数的求导，所以这里给出题目，做题的话可以留到后面。解答会统一放在剪贴板中。
f(x)=\arcsin(e^x)
求 f'(x)。
例题五
f(x)=\sin^2(x)
求 f''(x)。
例题六
f(x)=\cosh(\ln(x))
求 f'(x)。
例题七
这是一个看着很唬人，但其实是给你们复习一下三角函数的恒等变形。
f(x)=\arctan(\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)})
求 f'(x)。
解答
例题一
一眼链式求导。y = \sin(3x^2+2x)。
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\cos(3x^2+2x)\cdot(6x+2)
例题二
乘法法则。y=x^2\cos(x)。
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x\cos (x)-x^2\sin(x)
例题三
商法则。y=\frac{\tan x}{ 1+\sin x}。
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\sec^2(x)(1+\sin(x))-\tan(x)\cos(x)}{(1+\sin(x))^2}=\frac{\sec^2(x)(1+\sin(x))-\sin(x)}{(1+\sin(x))^2}
例题四
链式求导。y=\arcsin(e^x)。注意到 (e^x)'=e^x。
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} \cdot e^x=\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}
例题五
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)
$$
二阶导
$$
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=2\cos(2x)
$$
#### 例题六
$y=\cosh(\ln(x))$。链式法则呗还能怎样？
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\sinh(\ln(x))\cdot \frac{1}{x}=\frac{e^{\ln (x)}-e^{-\ln (x)}}{2x}=\frac{x-\frac{1}{x}}{2x}=\frac{x^2-1}{2x^2}
$$
#### 例题七
$y=\arctan\left(\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right)$。化简，得
$$
\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=\tan\left(\frac{x}{2}\right)
$$
所以 $y=\frac{x}{2}$，也即：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{2}
$$
你问我为什么那么简单？一个原因：六年级的我太菜。
# 提醒
注意定义域。
# 隐函数求导
## 隐函数
隐函数相对于显式表达显得更为困难，但是你也应该理解额。
举个例子，显式表达是形如 $y=f(x)$ 这样的东西，但是隐式表达是由方程 $F(x,y)=0$ 隐含定义的函数关系，举个例子：$$x^2+y^2=1$$，这就是隐函数。
由于找不到别的隐函数定理的介绍了，这里就放个[百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E9%9A%90%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86/12249951)的，将就着看吧。
证明的话，为了节省篇幅（我这台电脑好像太卡了），所以就引用[别人的了](https://zhuanlan.zhihu.com/p/648232832)。在这里感谢这位作者。
## 隐函数求导的方法
这是一个难点。目标求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}$，但是却无法直接得到这个函数的显式表达。所以考虑全微分和链式求导。
将 $y$ 看作 $x$ 的函数 $y(x)$，链式求导。之后整理方程，鼓励导数项。
比如对 $x^2+y^2=1$ 求导：
> 左边，有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(y^2)=2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
>
> 右边，有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(1)=0$。
>
> 容易得到 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}$。
## 一般方法
对于一般的隐函数 $F(x,y)=0$，全微分 $\mathrm{d} F=\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y=0$，不难得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}$。
## 隐函数求导的几何意义
设隐函数方程 $F(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处定义了一条光滑曲线，其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的几何意义是这样的：
导数 $\left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(x_0, y_0)} $ 表示曲线在该点的切线斜率。若隐函数可解为 $y = f(x)$，则切线方程为：
$$
y - y_0 = \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(x_0, y_0)} (x - x_0).
$$
切线的法向量为 $\left(1, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)$，而曲线的梯度向量 $\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y} \right)$ 与法向量平行，因为：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} \implies \nabla F \cdot \left(1, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = 0.
$$
以单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 为例，求导得 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x}{y}$。在点 $ \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 处：
$$
\left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = -\frac{1/\sqrt{3}}{1} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
$$
对应的切线方程为 $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{1}{2}\right) $。
## 扩展
其实同样可以扩展到多元的。对于 $F(x_1,x_,\dots,x_n,y)=0$，有：
$$
\frac{\partial y}{\partial x_i}=-\frac{\partial F/\partial x_i}{\partial F/\partial y}
$$
其中，$i \in [1,n]$。
# 有关指数函数和对数函数导数的一些内容
前文多次提到 $(e^x)'=e^x$，$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$，这一个章节将会认真讲解这一部分内容。
## 简单复习一些公式
请注意这里并不提供证明。作为复习，这是~~小学二年级~~高二必须要熟练掌握的内容。请注意。
### 对数的法则：
1. $\log_b(1)=0$。
2. $\log_b(b)=1$。
3. $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$。
4. $\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$。
5. $\log_b(x^y)=y\log_b(x)$。
6. 最重要的一个。指数函数导数一定会用到。$\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$。
### 指数函数和对数函数
这一部分是关于定义的。
* 指数函数：形如 $y=a^x$ 的函数，其中 $a$ 为非零实数。
* 对数函数：形如 $y=\log_a(x)$ 的函数，$a>0,a \neq 1$ 时，称其为对数函数。
* 不难发现对数函数和指数函数是一对互反函数。
## 求导
### 指数函数求导
回顾定义。
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
考虑定义法。
$$ f(x)=a^x$$
则：
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}
$$
考虑到合并：
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h-1)}{h}
$$
注意到 $a^x$ 和 $h$ 无关，考虑移出。
$$
f'(x)=a^x\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}
$$
很难不注意到 $a=e^{\ln a}$，所以 $a^h=e^{h \ln a}$。
关于 $e$ 的介绍，后文会提供。
则极限变为：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{e^{h \ln a}-1}{h}
$$
设 $k =h \ln a$，有 $h=\frac{k}{\ln a}$，则 $h \to 0,k \to 0$ 时，有：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{e^{h \ln a}-1}{h}=\lim_{k \to 0} \frac{e^k-1}{\frac{k}{\ln a}}=\ln a \cdot \lim_{k \to 0} \frac{e^k-1}{k}
$$
有一个结论，后面学完洛必达之后可以十分容易地理解，这里直接给出不加证明的结论。
$$
\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1
$$
则：
$$
f'(x)=a^x \ln x
$$
欸欸，这样不严谨推导，发现 $(e^x)'=e^x$！顺便将指数函数的导数给干出来了！
那么 $(e^x)'=e^x$ 到底是为什么呢？
### 回归本质
其实我到现在都没有讲到 $e$ 的渊源。
这一点是之后用的很广泛的一点。
关于 $e$ 的问题，其实是一个复利计算的一个问题，后面才定义的 $e$。
让我们看到一个问题。
> 假设有一笔钱以 $100\%$ 的年利率进行复利计算，每年复利 $n$ 次，则一年后的总额是多少？
这个问题看上去像是我们小学二年级曾经学过的简单的问题，这和 $e$ 有什么关系呢？
欸，我们看看公式：
$$
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
$$
~~不努力~~伯努利在看到这个公式之后，算啊算，发现他不断趋近于一个值！这个值大约在 $2.71828$，后来欧拉大神的出世，才正式命名为 $e$。我们如今看到的定义是：
$$
e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
$$
但是我们仍然需要知道，这个 $e$ 到底有何种性质？
我首先想把它弄成一个泰勒级数的形式，怎么搞呢？先设一下吧。
$$
e^x=\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i
$$
接下来看起来并不好搞。我想二项式弄一下。
请注意这里有一个结论，不会的可以用夹逼定理简单推一下。
$$
e^x=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n
$$
则考虑展开：
$$
\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{x}{n}\right)^k=\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{x^k}{n^k}
$$
这里 $n!$ 表示阶乘。（应该不会有人不知道吧）继续：
$$
\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{x^k}{n^k}=\sum_{k=0}^{n} \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n} \cdot \frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{n} \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)
$$
考虑到前面如果 $n \to \infty$，所有前面的级数趋近 $1$，乘积也可以认为是 $1$，所以：
$$
e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}
$$
欸嘿嘿，得出了这个玩意儿之后，就简单太多了吧！
通过计算，不难得到，如果 $f(x)=e^x$，则：
$$
f'(x)=f(x)
$$
多优美啊！
### 对数函数求导
#### 最最基础的
最最基础的，就是 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln(x)$。
引理：
$$
\lim_{u \to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1
$$
证明：
> $$
> e=\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}}
> $$
> 所以：
> $$
> \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u}=\ln(e)=1
> $$
> 证毕。
定义法。
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}
$$
则：
$$
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}
$$
设 $u=\frac{h}{x}$，则 $h=ux$，当 $h \to 0$，$u \to 0$，有：
$$
f'(x)=\lim_{u \to 0} \frac{\ln (1+u)}{ux}=\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u}=\frac{1}{x}
$$
终于搞定了。是不是很简单呢？然而这只是铺垫。
#### 或许有点复杂的东西
其实也并不是特别复杂。
求：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_a(x)
$$
咋整捏？考虑到换底公式：
$$
\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}
$$
则：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_a(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\right)=\frac{1}{x \ln (a)}
$$
十分开心，没了！
# 洛必达法则
好像到了各位最喜欢的章节？
这里似乎还是要补充几个定理，不然后续搞不定。
## 罗尔中值定理
若函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，且在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exist c \in (a,b) \space f'(c)=0$。
证明：
> 由最大最小值（上文有提），设 $M$ 为闭区间 $[a,b]$ 的最大值，$m$ 为最小值。
>
> ### 情况一：$M=m$，即常数函数。
>
> 此时，对于任意的 $c \in (a,b)$，均有 $f'(c)=0$。
>
> ### 情况二：$M>m
此时 M 和 m 都是极值点，显然 f'(M)=f'(m)=0。证毕。
拉格朗日中值定理
好像是最简单的一个中值定理了。
若函数 f 在闭区间 [a,b] 连续，且在开区间 (a,b) 内可导，则存在 c \in (a,b) 使得
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
证明：
设
\phi(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)
$$
\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$
代入 $\phi'(c)=0$ 有：
$$
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$
柯西中值定理
设函数 𝑓(𝑥) 和 𝑔(𝑥) 满足在闭区间 [𝑎,𝑏] 连续，(𝑎,𝑏) 内可导，且 𝑔′(𝑥) 恒非零，则存在一点 𝑐 \in (𝑎,𝑏)，使得：
\frac{𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)}{𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)}=\frac{𝑓'(𝑐)}{𝑔'(𝑐)}
证明（感谢一位同校同学）
构造 h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))。
满足罗尔中值的要求。则存在 x_0 \in (a,b) 使得 h'(x_0)=0。
则
f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x_0)=0\\
\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=0
然后洛必达法则：
满足：\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}。
举个例子：
\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1
$$
\lim_{h \to 0} e^h=1
$$
证毕。
# taylor 展开 & Maclaurin 公式
OK 啊，其实这个东西是后面补上去的。
## taylor 展开
这个东西的基本思想就是用多项式逼近光滑函数。具体地，如果一个函数 $f(x)$ 在 $a$ 处无限可微，则 $f(x)$ 可以在 $a$ 的邻域内表示为
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
$$
然后可以用到[牛顿迭代法](https://www.luogu.com.cn/article/3q3aewmc)上。~~（推销一波）~~
举个例子：
红色：要逼近的函数，从蓝到绿到紫逐渐逼近红色曲线。
这就是泰勒展开的核心，用多项式代替光滑函数。
在实际运用中，我们会截断有限项，这个时候余项 $R_N(x)$ 表示误差。这很好理解。
## Maclaurin 公式
其实就是 taylor 展开在 $a=0$ 处的特例。
即
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
$$
太舒服了。
举几个 Maclaurin 公式的例子。
### $y=e^x
e^x=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}
y=\sin x
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
y=\cos x
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}
y=\ln(1+x)
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n},|x|<1
y=\frac{1}{1-x}
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n,|x|<1
好了背这几种就可以了。其它考场现推（
总结
导数是很神奇的东西，应用范围很广泛。不只是高中校内的内容。扩展到大学、竞赛都会用到。
致谢
- Adrian Banner 的《普林斯顿微积分读本》，此文章合集的目录参考了这本书，我也是看这本书自学的。内容由我独立完成。
- 这位作者关于隐函数定理的证明，十分精彩！
- 一位同校的极强的物理同学为我提供了柯西中值定理的证明，在此致谢！
- 一位数学老师为我提供了指导，并修改了文章中比较严重的问题。在此致谢！
- 感谢评论区的几位大佬指出问题。
后面两位由于没有洛谷号，此处无法直接引用。