Beatty 序列

这是我在考场上的一个证明。感觉比其他方法还是避免了一些讨论的。 UPD：似乎具体数学和[这个链接](http://www.cut-the-knot.org/proofs/Beatty.shtml)收录的也和我的做法差不多。 Beatty 序列：对于正实数 $\alpha,\beta$ 满足 $\frac 1{\alpha} + \frac1{\beta}=1$，定义集合 $P=\{ \lfloor n\alpha \rfloor \},Q=\{ \lfloor n\beta \rfloor \}$，那么 $P,Q$ 构成了 $\mathbb{Z}^+$ 的一个划分的充要条件为 $\alpha \notin \mathbb Q$（显然 $\beta$ 的有理性和其一致） 接下来看看我们的证明。 首先进行第一步转化：定义数列 $f_n = \lceil \frac n\alpha \rceil + \lceil \frac n \beta\rceil - 2$，那么 $P,Q$ 构成划分当且仅当 $f_n=n-1$。 为什么呢？因为我们相当于要证明对于每个 $k\in \mathbb Z^+$，恰有一个 $n\alpha$ 或 $n\beta$ 落在 $[k,k+1)$ 内。而 $f_n$ 就表示了 $<n$ 的部分到底有多少个数。 注意到，$\lceil x \rceil \in [x,x+1)$，因此 $f_n \in [n-2,n)$。接下来只需要证明 $f_n$ 不可能是 $n-2$ 就行了。为了达到 $n-2$，必须每个取整都取到整数，而这就说明 $\alpha$ 是有理数，矛盾。 这个做法也显然的指出了有理数一定不构成划分，因为可以取合适的 $n$ 使得各项都是整数。