Fibonacci 数列的一些性质

设 $f_n$ 表示 Fibonacci 数列，满足 $f_0=0,f_1=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$。 通项公式： $$ f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $$ 其中设 $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\hat{\phi}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。（后面 Pisano Period 有用） 生成函数： $$\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^i=\frac{1}{1-x-x^2}$$ 1. $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_i=f_{i+2}-1$$ 对 $n$ 归纳，显然当 $n=0$ 时成立，当 $n\geq 1$ 时有： $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_i=f_{i+1}-1+f_i=f_{i+2}-1$$ 证毕，或者可以使用生成函数： $$\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{i}f_j\right)x^i=\frac{1}{(1-x-x^2)(1-x)}=\frac{1}{1-2x+x^3}$$ 右边为 $$\sum\limits_{i=0}^{\infty}(f_{i+2}-1)x^i=\frac{\dfrac{1}{1-x-x^2}-1-x}{x^2}-\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-2x+x^3}$$ 证毕。 2. $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_i^2=f_{i}f_{i+1}$$ 对 $n$ 归纳，显然当 $n=0$ 时成立，当 $n\geq 1$ 时有： $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_i^2=f_{n-1}f_{n}+f_n^2=f_nf_{n+1}$$ GF 的话，我不知道怎么表示 $f^2_n$ 的生成函数，所以没有。 3. $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_i^3=\frac{f_nf_{n+1}^2+(-1)^{n-1}f_{n-1}+1}{2}$$ 我不是很会证/kk 鱼鱼那个 我不是很会/wq 4. $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_{2i+1}=f_{2n+2}$$ 对 $n$ 归纳，显然当 $n=0$ 时成立，当 $n\geq 1$ 时有： $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_{2i+1}=f_{2n}+f_{2n-1}=f_{2n+2}$$ 证毕。 5. $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_{2i}=f_{2n+1}-1$$ 对 $n$ 归纳，显然当 $n=0$ 时成立，当 $n\geq 1$ 时有： $$\sum\limits_{i=0}^{n}f_{2i}=f_{2n-1}-1+f_{2n}=f_{2n+1}-1$$ 证毕。