反例

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无穷限积分的比较判别法不能够逆用。即 \int_{a}^{+\infty}f(x){\rm d}x 收敛，\int_{a}^{+\infty}g(x){\rm d}x 发散，不能推断出 \frac{f(x)}{g(x)} 极限为 0。

设 f(x) 仅在每个整数 n 附近 [n-\frac{1}{2n^3},n+\frac{1}{2n^3}] 有值为 n，其余位置均为 0。设 g(x)=\frac1x

那么有

\int_{0}^{+\infty}f(x){\rm d} x=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}

收敛。

但 \dfrac{f(x)}{g(x)} 震荡，极限不存在。