等差数列平方和公式及推导

_MRCMRC_ · 2019-04-12 19:59:53 · 个人记录

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

(n+1)^3-n^3=(n^3+3n^2+3n+1)-n^3=3n^2+3n+1

利用上面这个式子有：

2^3-1^3=3×1^2+3×1+1

3^3-2^3=3×2^2+3×2+1

4^3-3^3=3×3^2+3×3+1

5^3-4^3=3×4^2+3×4+1

……

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

把上述各等式左右分别相加 得到：

(n+1)^3-1^3=3×(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3×(1+2+3+……+n) +n×1

n^3+3n^2+3n+1-1=3×(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3×n(n+1)/2 +n

∴ ：1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6