数学浅谈——高斯的正十七边形

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谨以此文献给一晚想出正十七边形尺规作图法的约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777年4月30日—1855年2月23日）。

注：本文涉及的尺规作图的基本操作详见这篇博客.

尺规作图相信大家都不陌生。那么尺规作图到底有什么用呢？高斯 19 岁是如果作出正 17 边形的呢？

一、什么是尺规作图

尺规作图，顾名思义，就是用直尺（没有刻度）和圆规作图。

1. 尺规作图的基本操作

①两点连一线（过点 A、B 作一条直线）

②画圆（已知圆心 O 和半径 r 画圆）

③直线、圆相交的交点

2. 可作图（略）

二、代数的应用

1. 加法和减法

2. 乘法和除法

3. 开平方

三、正十七边形

1. 1796年高斯得出正17边形可尺规作图

i) 设有一\odot O的内接正17边形，其半径OA=1。

ii) 圆有上另一点B，则\angle AOB=\theta^\circ=\dfrac{360^\circ}{17}。若能找到点B，则可以使用圆规作出正17边形。

iii) 作BB'垂OA于B'，若能找到点B'，则可以作一条垂线于圆相交，再使用圆规作出正17边形。

iv) 易得OB'=\cos\theta，则问题可转换成：求\cos\theta=\cos\dfrac{360^\circ}{17}的值。只要能求出\cos\dfrac{360^\circ}{17}的值，则可以使用上述方法作出正17边形。

高斯算出的\cos\dfrac{360^\circ}{17}值：

\boxed{\cos\dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}}

v) 虽然上述表达式很长，但是其中只包含加减、乘除与开平方运算，这些运算都可以用尺规作图实现。则正 17 边形可以尺规作图。

2. 1801年高斯得出正n边形是否可尺规作图的条件

当且仅当n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{n}时，正n边形才可尺规作图。（k\in N，p_{i}为费马素数） 费马素数：第i个费马素数=2^{2^{i}}+1。

当n=2时，n=2^{1}，可以尺规作图。

当n=3时，n=2^{0}\times3（p_{0}=3），可以尺规作图。

当n=4时，n=2^{2}，可以尺规作图。

当n=5时，n=2^{0}\times5（p_{1}=5），可以尺规作图。

四、正五边形的作法

1. 目标

尺规作图画出一个圆内接正五边形。

2. 实现方法

(1)作圆O的半径OA=1，则正五边形的各顶点分别为圆上的点A、B、C、D和E。

(2)延长线段AO至点F，可以得出B、E关于AF对称，同理，C、D也关于AF对称。

(3)根据正多边形的定义，我们可以得出AB=BC=CD=DE=EA。所以我们只需要求得点B的位置，就可以利用这个性质画出正五边形。

(4)那么点B怎么求呢？显然，我们需要求得\angle AOB的\cos值，即求\cos\angle AOB。为表述方便，我们设\angle AOB=\theta^\circ。

(5)我们很容易就能求得\theta的值，\theta=\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ。那么问题就是求\cos72^\circ的值，只要求得了这个值，我们就可以尺规作图正五边形了。

(6)那么如何求\cos72^\circ的值呢？我们需要先将这些点表示成复平面上的一个点。我们知道\epsilon_{k}=\cos\theta_{k}+i\sin\theta_{k}。

(7)我们把点A写作\epsilon_{0}，点A的角度就是0^\circ角，所以\epsilon_{0}=1。

(8)而点B可以写作\epsilon_{1}，它的\theta=72^\circ；点C是\epsilon_{2}，它的\theta是72^\circ的2倍；同理，\epsilon_{3}是72^\circ的3倍，\epsilon_{4}是72^\circ的4倍。

复数的运算法则

i) \epsilon_{k}=\epsilon_{1}^{k}；

ii) \epsilon_{1}^{5}=\epsilon_{0}=1；

iii) \epsilon_{0}+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\epsilon_{3}+\epsilon_{4}=0。

(9)移项，得\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\epsilon_{3}+\epsilon_{4}=-\epsilon_{0}=-1。

(10)设x_{1}=\epsilon_{1}+\epsilon_{4},x_{2}=\epsilon_{2}+\epsilon_{3}(x_{1},x_{2}\in R^{+})，∴x_{1}+x_{2}=-1。

(11)而x_{1}x_{2}=(\epsilon_{1}+\epsilon_{4})(\epsilon_{2}+\epsilon_{3})=\epsilon_{3}+\epsilon_{4}+\epsilon_{6}+\epsilon_{7}。

(12)因为\epsilon_{5}=\epsilon_{0}=1，所以\epsilon_{6}=\epsilon_{1}\epsilon_{5}=\epsilon_{1}。同理，得\epsilon_{7}=\epsilon_{2}\epsilon_{5}=\epsilon_{2}。∴x_{1}x_{2}=\epsilon_{3}+\epsilon_{4}+\epsilon_{6}+\epsilon_{7}=\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\epsilon_{3}+\epsilon_{4}=-1。

(12)根据韦达定理，得x\in x^{2}+x-1=0的根。则x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}。

(13)因为\epsilon_{1}=\cos\theta+i\sin\theta，而\epsilon_{4}表示的点E与\epsilon_{1}表示的点B对称，所以两点的纵坐标互为相反数，即\epsilon_{4}=\cos\theta-i\sin\theta。所以x_{1}=\epsilon_{1}+\epsilon_{4}=2\cos\theta。因为x_{1}是正的，则x_{1}=2\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}。所以\cos\theta=\cos 72^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}。

(14)因为\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}只包含加减、乘除和平方根运算，由(5)可得，正五边形可尺规作图。

看，就连画一个正五边形都需要14步来证明，所以，高斯用一个晚上的时间证明正十七边形可尺规作图，是不是也合情合理的呢？

【本文转载、改编自https://www.bilibili.com/video/BV1vE411b7UP/?spm_id_from=333.788.videocard.1】