行列式入门
ref_rainT
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算法·理论
upd on 2026.5.1：修改了 @gapeqi 提出的问题，感激不尽！！
观前提示：读者应掌握按一行/列展开行列式的方法，若不清楚请自行搜索资料学习。
本文仅用于研究归纳法对行列式常见性质的证明，并没有提到行列式真正的定义式，仅供参考。
约定记号
设 A 是 n \times n 矩阵，其第 i 行第 j 列的数为 a_{ij}。
行列式 $\det(A)$ 按如下**递归定义**：
- 当 $n = 1$ 时，
$$
\det(A) = a_{11}.
$$
- 当 $n \ge 2$ 时，按第一行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}),
$$
其中 $M_{1j}$ 表示删去 $A$ 的第 $1$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵（称为**余子阵**，其行列式称为**余子式**，代数余子式为 $(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$）。本文中 $M_{ij}^A$ 表示从矩阵 $A$ 删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的余子阵。
以下对性质的证明都会使用上课讲的方法（归纳法），即从基本形式逐步扩充。
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## Property 1.1
::::info[Property 1.1]{open}
若 $A$ 是上三角矩阵，即当 $i > j$ 时 $a_{ij} = 0$，则
$$
|A| = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.
$$
对下三角矩阵（当 $i < j$ 时 $a_{ij}=0$）同理。
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::::info[Proof 1.1 - Basic]{open}
$n=1$ 时，$\det(a_{11})=a_{11}$，公式成立。
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::::info[Proof 1.1 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的上三角矩阵，行列式都等于主对角线元素乘积。设 $A$ 为 $n$ 阶上三角矩阵：
$$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}).
$$
当 $j \ge 2$ 时，$M_{1j}$ 是上三角矩阵且其第一个主对角元为 $0$（因为 $M_{1j}$ 的第 $1$ 行第 $1$ 列元素来自 $A$ 的第 $2$ 行第 $1$ 列，该值为 $0$），由归纳假设，$\det(M_{1j}) = 0$。因此只有 $j = 1$ 项保留：
$$
\det(A) = a_{11} \det(M_{11}).
$$
矩阵 $M_{11}$ 是删去第 $1$ 行第 $1$ 列后的子矩阵，它仍是上三角，主对角线为 $a_{22}, a_{33}, \dots, a_{nn}$。由归纳假设：
$$
\det(M_{11}) = a_{22} a_{33} \cdots a_{nn}.
$$
于是：
$$
\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.
$$
::::
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## Property 1.2
::::info[Property 1.2]{open}
若存在某行 $k$ 使得 $a_{k1} = a_{k2} = \cdots = a_{kn} = 0$，则 $\det(A) = 0$。
::::
::::info[Proof 1.2 - Basic]{open}
$n=1$ 时，若 $a_{11}=0$，则 $\det\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}=0$，成立。
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::::info[Proof 1.2 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，若某一行全为零，则行列式为 $0$。按全零行 $k$ 分类讨论。
- 若 $k=1$：按第一行展开，
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} \cdot 0 \cdot \det(M_{1j}) = 0.
$$
- 若 $k>1$：按第一行展开，
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}).
$$
在 $M_{1j}$ 中，原来的第 $k$ 行（全零）变成了第 $k-1$ 行，且仍然全为零。由归纳假设，$\det(M_{1j}) = 0$ 对所有 $j$ 成立。因此 $\det(A)=0$。
证毕。
::::
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## Property 1.3
::::info[Property 1.3]{open}
设 $B$ 是将矩阵 $A$ 的第 $k$ 行所有元素乘以常数 $c$ 后得到的矩阵，则有
$$
\det(B) = c \cdot \det(A).
$$
::::
::::info[Proof 1.3 - Basic]{open}
$n=1$ 时，设 $A=(a_{11})$，$B=(c\cdot a_{11})$，则 $\det(B)=c a_{11}=c\det(A)$，该性质成立。
::::
::::info[Proof 1.3 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，性质成立。设被操作的行是第 $k$ 行。
- 若 $k=1$：按第一行展开 $B$，
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} (c a_{1j}) \det(M_{1j}^B) \\
&= c \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A) \\
&= c \det(A).
\end{aligned}
$$
注意这里 $M_{1j}^B = M_{1j}^A$，因为只修改了第一行且第一行被删去。
- 若 $k>1$：按第一行展开 $B$，
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} b_{1j} \det(M_{1j}^B) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^B),
\end{aligned}
$$
其中 $b_{1j}=a_{1j}$（第一行未变）。在 $M_{1j}^B$ 中，原来的第 $k$ 行（已乘 $c$）变成了第 $k-1$ 行，且该行每个元素是原 $A$ 中对应元素的 $c$ 倍。由归纳假设（对 $n-1$ 阶矩阵）：
$$
\det(M_{1j}^B) = c \cdot \det(M_{1j}^A).
$$
代入得
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \cdot \big( c \det(M_{1j}^A) \big) \\
&= c \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A) \\
&= c \det(A).
\end{aligned}
$$
::::
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## Property 1.4
::::info[Property 1.4]{open}
若矩阵 $B$ 是将 $A$ 的第 $p$ 行与第 $q$ 行互换（$p \neq q$）后得到的矩阵，则
$$
\det(B) = -\det(A).
$$
::::
::::info[Proof 1.4 - Basic]{open}
$n=2$ 时，设
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad
B = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}.
$$
则 $\det(A)=ad-bc$，$\det(B)=cb-da = -\det(A)$，性质成立。
::::
::::info[Proof 1.4 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，互换两行后行列式变号。设 $p<q$，按第一行展开 $A$：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A).
$$
考虑 $B$ 的展开，分三种情况。
1. **若 $1 \neq p, q$**：第一行未动，子矩阵 $M_{1j}^B$ 是由 $M_{1j}^A$ 互换第 $p-1$ 行与第 $q-1$ 行得到（因为删去第一行后行号减 $1$）。由归纳假设，$\det(M_{1j}^B) = -\det(M_{1j}^A)$。代入展开式得 $\det(B)=-\det(A)$。
2. **若 $1 = p$**（即第一行参与互换，$p=1$，$q>1$）：$B$ 的第一行是 $A$ 的第 $q$ 行。按第一行展开 $B$：
$$
\det(B) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{qj} \det(M_{1j}^B).
$$
子矩阵 $M_{1j}^B$ 删去了 $A$ 的第 $q$ 行和第 $j$ 列，但未删第 $1$ 行。将 $M_{1j}^B$ 与 $M_{qj}^A$（删 $A$ 的第 $q$ 行第 $j$ 列）比较：$M_{qj}^A$ 中第 $1$ 行是 $A$ 的第 $1$ 行，而 $M_{1j}^B$ 中该行位于第 $q-1$ 行。将 $M_{1j}^B$ 的第 $q-1$ 行逐次上移到第 $1$ 行需要 $q-2$ 次相邻行互换，因此
$$
\det(M_{1j}^B) = (-1)^{q-2} \det(M_{qj}^A).
$$
代入得
$$
\det(B) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{qj} \cdot (-1)^{q-2} \det(M_{qj}^A) = (-1)^{q-2} \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{qj} \det(M_{qj}^A).
$$
将 $A$ 的第 $q$ 行通过 $q-1$ 次相邻互换上移到第 $1$ 行，得到矩阵 $A'$。由归纳假设，$\det(A') = (-1)^{q-1} \det(A)$。按 $A'$ 的第一行展开：
$$
\det(A') = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{qj} \det(M_{qj}^A).
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= (-1)^{q-2} \det(A') \\
&= (-1)^{q-2} \cdot (-1)^{q-1} \det(A) \\
&= (-1)^{2q-3} \det(A) \\
&= -\det(A).
\end{aligned}
$$
3. **若 $1 = q$**：对称可得相同结论。
综上，对所有情形 $\det(B)=-\det(A)$。
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## Property 1.5
::::info[Property 1.5]{open}
若矩阵 $A$ 存在两行成比例（即存在 $p \neq q$ 及常数 $c$ 使得第 $q$ 行 $= c \times$ 第 $p$ 行），则
$$
\det(A) = 0.
$$
::::
::::info[Proof 1.5 - Basic]{open}
$n=2$ 时，设
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ ca & cb \end{pmatrix},
$$
则 $\det(A)=a\cdot cb - b\cdot ca = abc - abc = 0$。
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::::info[Proof 1.5 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，若两行成比例则行列式为 $0$。设第 $q$ 行 $= c \times$ 第 $p$ 行。
- 若 $c=0$：第 $q$ 行为全零行，由 Property 1.2 得 $\det(A)=0$。
- 若 $c \neq 0$：令 $B$ 为将第 $q$ 行乘以 $1/c$ 得到的矩阵。由 Property 1.3，$\det(B) = \frac{1}{c}\det(A)$。但 $B$ 的第 $q$ 行 $=$ 第 $p$ 行，即两行完全相同。将 $B$ 的第 $p$ 行与第 $q$ 行互换得 $B$ 自身，由 Property 1.4：
$$
\det(B) = -\det(B) \implies \det(B)=0.
$$
因此 $\det(A)=c\cdot 0=0$。
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## Property 1.6
::::info[Property 1.6]{open}
设 $A$ 的第 $k$ 行元素满足 $a_{kj} = b_{kj} + c_{kj}$（$j=1,\dots,n$），其余行与 $B,C$ 相同，且 $B,C$ 分别以 $b_{kj},c_{kj}$ 作为第 $k$ 行，则
$$
\det(A) = \det(B) + \det(C).
$$
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::::info[Proof 1.6 - Basic]{open}
$n=1$ 时，$\det(a_{11})=a_{11}=b_{11}+c_{11}=\det(b_{11})+\det(c_{11})$。
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::::info[Proof 1.6 - Extension]{open}
假设对阶数 $< n$ 成立。
- 若 $k=1$：按第一行展开，
$$
\begin{aligned}
\det(A) &= \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} (b_{1j}+c_{1j}) \det(M_{1j}^A) \\
&= \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} b_{1j} \det(M_{1j}^B) + \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} c_{1j} \det(M_{1j}^C) \\
&= \det(B) + \det(C).
\end{aligned}
$$
这里 $M_{1j}^A = M_{1j}^B = M_{1j}^C$，因为删去第一行后其余行未变。
- 若 $k>1$：按第一行展开，
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A).
$$
在 $M_{1j}^A$ 中，原来的第 $k$ 行变为第 $k-1$ 行，且该行元素为 $b_{kj}+c_{kj}$。由归纳假设（对 $n-1$ 阶）：
$$
\det(M_{1j}^A) = \det(M_{1j}^B) + \det(M_{1j}^C).
$$
代入得
$$
\begin{aligned}
\det(A) &= \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \big( \det(M_{1j}^B) + \det(M_{1j}^C) \big) \\
&= \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^B) + \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^C) \\
&= \det(B) + \det(C).
\end{aligned}
$$
::::
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## Property 1.7
::::info[Property 1.7]{open}
设 $B$ 是将 $A$ 的第 $p$ 行乘以常数 $c$ 后加到第 $q$ 行（$p \neq q$）得到的矩阵，则
$$
\det(B) = \det(A).
$$
::::
::::info[Proof 1.7 - Basic]{open}
$n=2$ 时，设
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad
B = \begin{pmatrix} a & b \\ c + \lambda a & d + \lambda b \end{pmatrix}.
$$
则
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= a(d+\lambda b) - b(c+\lambda a) \\
&= ad + \lambda ab - bc - \lambda ab \\
&= ad - bc = \det(A).
\end{aligned}
$$
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::::info[Proof 1.7 - Extension]{open}
假设对阶数 $< n$ 成立。令 $C$ 为将 $A$ 的第 $q$ 行替换为第 $p$ 行（其余行不变）得到的矩阵，则 $C$ 有两行相同（第 $p$ 行与第 $q$ 行）。由 Property 1.5 得 $\det(C)=0$。
注意 $B$ 的第 $q$ 行 $=$ $A$ 的第 $q$ 行 $+$ $c \times A$ 的第 $p$ 行。由 Property 1.6（按第 $q$ 行分解）：
$$
\det(B) = \det(A) + c \cdot \det(C).
$$
因为 $\det(C)=0$，所以 $\det(B)=\det(A)$。
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## Property 1.8
::::info[Property 1.8]{open}
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^{\mathsf{T}}$ 为其转置矩阵（即 $(A^{\mathsf{T}})_{ij}=a_{ji}$），则
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A).
$$
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::::info[Proof 1.8 - Basic]{open}
$n=1$ 时显然成立。
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::::info[Proof 1.8 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，转置后行列式值不变。
按第一行展开 $\det(A^{\mathsf{T}})$：
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} (A^{\mathsf{T}})_{1j} \det(M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}}).
$$
由转置定义，$(A^{\mathsf{T}})_{1j}=a_{j1}$。
子矩阵 $M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}}$ 是删去 $A^{\mathsf{T}}$ 的第 $1$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶矩阵。删去 $A^{\mathsf{T}}$ 的第 $1$ 行相当于删去 $A$ 的第 $1$ 列，删去 $A^{\mathsf{T}}$ 的第 $j$ 列相当于删去 $A$ 的第 $j$ 行，因此
$$
M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}} = (M_{j1}^{A})^{\mathsf{T}},
$$
其中 $M_{j1}^{A}$ 是删去 $A$ 的第 $j$ 行和第 $1$ 列后得到的子矩阵。
由归纳假设（对 $n-1$ 阶矩阵）：
$$
\det(M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}}) = \det(M_{j1}^{A}).
$$
于是
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{j1} \det(M_{j1}^{A}).
$$
为了得到 $\det(A)$ 的表达式，我们将 $A$ 的第 $j$ 行与第 $1$ 行互换，得到矩阵 $A^{(j)}$。
具体地，将第 $j$ 行逐次上移到第 $1$ 行需要 $j-1$ 次相邻行互换，由 Property 1.4 得 $\det(A^{(j)}) = (-1)^{j-1} \det(A)$。
另一方面，按 $A^{(j)}$ 的第一行展开（第一行即为 $A$ 的第 $j$ 行），有
$$
\det(A^{(j)}) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{1+k} a_{jk} \det((M_{j1}^{A})^{(k)}),
$$
其中 $(M_{j1}^{A})^{(k)}$ 表示在 $M_{j1}^{A}$ 的基础上进行相应列变换后的矩阵，但注意到按第一行展开时，$a_{j1}$ 对应的余子阵恰好是 $M_{j1}^{A}$（因为删去第 $j$ 行和第 $1$ 列后，再经过行互换得到的子矩阵行列式与 $\det(M_{j1}^{A})$ 相差一个由列互换引起的符号）。
更直接地，利用已证明的 Property 1.3 和 Property 1.4，我们可以得到按第一列的展开公式：
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{i1} \det(M_{i1}^{A}).
$$
（该公式可通过将第 $i$ 行上移到第 $1$ 行，再按第一行展开，最后调整符号得到，证明过程依赖 Property 1.4 和 Property 1.3，且不与本证明形成循环。）
于是
$$
\begin{aligned}
\det(A^{\mathsf{T}}) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{j1} \det(M_{j1}^{A}) \\
&= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{i1} \det(M_{i1}^{A}) \\
&= \det(A).
\end{aligned}
$$
证毕。
::::