2024山西数学中考15题

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题目

如图，在平行四边形 ABCD 中 AC 为对角线，AE \bot BC 于点 E，F 是 AE 延长线上一点，\angle ACF=\angle CAF。线段 AB,CD 的延长线交于点 G，若 AB=\sqrt{5},AD=4,\dfrac{AE}{BE}=2，求 BG 的长。

解析

本题实际上分为两个部分：求 EF 的长与求 BG 的长。这两部分的做法分开来讲。

A 部分

A1：三角函数

由题易得 BE=1,AE=2,CE=3。

设 \angle ACE=\alpha，则 \tan \alpha=\dfrac{2}{3}。此时 \angle ECF=90-\alpha-\alpha=90\degree--2\alpha，故 \tan \angle ECF=\tan (90 \degree-2\alpha)=\dfrac{5}{12}，所以 EF=\dfrac{5}{4}。

A2：勾股方程

由题易得 BE=1,AE=2,CE=3。

设 EF=x，则 CF=AF=2+x。

在 Rt \triangle ECF 中由勾股定理得 3^2+x^2=(x+2)^2，解得 x=\dfrac{5}{4}。

B 部分

B1：建系

以 E 为原点建系，则 A(0,2)，B(-1,0)，AB \mathop {:}y=2x+2。同时 G(3,0)，F(0,-\dfrac{5}{4})，则 CF\mathop{:}y=\dfrac{5}{12}x-\dfrac{5}{4}。联立两式解得 G(-\dfrac{39}{19},-\dfrac{40}{19})。

应用两点间距离公式得 BG=\dfrac{20\sqrt{5}}{19}。

B2：解 \triangle BGC

分析：在 \triangle BGC 中，已知 BC=4，\tan \angle BCG=\dfrac{5}{12}，而 \sin \angle CBG=\sin(180\degree-\angle CBA)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}，那么解三角形即可。

过 G 作 GH \bot CB 于点 H，如图：

那么 Rt \triangle GHC 是 5:12:13 的三角形，而 Rt \triangle BHG 是 1:2:\sqrt{5} 的三角形。设 BH=x，则 GH=2x，有 \dfrac{x+4}{2x}=\dfrac{12}{5}，解得 x=\dfrac{20}{19}，所以 BG=\dfrac{20\sqrt{5}}{19}。

B3：相似

解：过 B 作 BM \mathop{//} AF 交 CG 于点 M，如图：

那么 A 字相似有 \triangle BMG \sim \triangle AGF 和 \triangle ECF \sim \triangle BCM。

先由 \dfrac{\frac{5}{4}}{BM}=\dfrac{3}{4} 可得 BM=\dfrac{5}{3}。再设 BG=x，可知 \dfrac{x}{x+\sqrt{5}}=\dfrac{\frac{5}{3}}{\frac{13}{4}}。解得 x=\dfrac{20\sqrt{5}}{19}。