感性理解“柯西不等式”

2020ak91 · 2022-08-03 12:04:04 · 个人记录

感性理解“柯西不等式”

前言

预备知识：无。
本文将努力以一种简单方式，简要介绍一下著名的 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨（Cauchy-Buniakowsky-Schwarz）不等式 及其在数学领域的广泛应用。当然，本文在语言、论证等方面都是不太严谨的，即所谓“感性理解”所在。
在下不过一芥蒟蒻，也是参考了许多其他的文章才得以作出此文。由于学疏才浅，难免有些谬误疏漏之处，还望方家不吝赐教！

Chapter1 线性空间

先给出一个定义：

定义1：设V是一个非空集合，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素a与b，在V中都有唯一的一个元素c与它们对应，称为a与b的和，记为 c=a+b。在任一实数与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做 数量乘法；这就是说，对于V中任一元素a和任一实数k，在V中都有唯一的一个元素b与它们对应，称为k与a的 数量乘积，记为 b=ka。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为实数集上的 线性空间，其上元素称为向量（以下以大写字母表示向量、小写字母表示实数）：
1. 加法交换律、结合律。
2. 存在一唯一的元素O \in V称为V的零元素，使得对任意A \in V，有a+O=a；对于每一A \in V，都有唯一的B \in V称为A的负元素记作-A，满足A+B=O。
3. 乘法结合律（事实上，数量乘法是没有”交换律“一说的）。
4. 对于每一A \in V , k \in R，都有1*A=A、0*A=O、k*O=O、(-1)*A=-A。
5. 数量乘法分别对于向量加法、数量加法的分配律。

这个定义虽然看似复杂，但其实是十分简单而自然的。比如说，对于两个n元数组A[],B[]，定义n元数组C[]=A[]+B[]满足C[i]=A[i]+B[i] , i \in [1,n]、D[]=k*A[]满足D[i]=kA[i] , i \in [1,n]，则所有n元实数组的集合（记为R^n）就是一个线性空间。再比如几何中的向量也满足线性空间的各种要求，三维几何空间本身就是一个线性空间。

显然，实数集R本身也是一个线性空间。线性空间中所规定的基本运算及其运算律，事实上都是非常有用而必要的，它涵盖了所谓“线性”二字背后的精华，并由此给出了强大的性质。关于线性空间理论的进一步介绍，可参见《高等代数》、《线性代数》等书目。

Chapter2 欧几里得内积空间

然而，在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法（统称为 线性运算）——这显然是不够的。几何中的向量有内积的运算，在一般的线性空间中是否也一样呢？

定义2：在线性空间V上定义了一个二元实函教，称为内积，记作AB（注意内积运算的结果为实数，即AB \in R）。它具有以下性质：
1. 交换律AB=BA。
2. 关于数量乘法的结合律k*AB=(k*A)B；关于向量加法的分配律(A+B)C=AC+BC。
这样的线性空间称为欧几里得内积空间，简称为欧氏空间或内积空间。

对于两个n元数组 A[],B[]，定义 A[]B[]=\sum_{i=1}^{n}{A[i]*B[i]} , i \in [1,n]，则 R^n 就是一个欧氏空间。再比如几何中的向量及其内积，三维几何空间也是一个内积空间。

在几何中，向量的一个重要概念就是长度。可是如何在一般的线性空间中引进这一概念呢？

定义3：欧氏空间中向量A的长度 |A|=\sqrt{A^2}。

这也是符合几何定义的。那么，既然长度都有了，何妨再仿照上面的方式，在定义一个方向呢？在几何中，向量A,B夹角的余弦可通过内积反推为AB/(|A|*|B|)，在代数中是否也可以呢？为了解决这个问题，首先要证明下面的不等式：|AB/(|A|*|B|)| \le 1（即|AB| \le |A||B|），毕竟余弦函数的值域只有[-1,1]……

Chapter3 柯西不等式

本文的主角终于要登场了——柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，|AB| \le |A||B|。

## Chapter4 应用 * 对于欧氏空间本身： **定义4**：非零向量A、B的**夹角**$<A,B>=\arccos{\frac{AB}{|A|*|B|}}$。关于欧氏空间理论的进一步介绍，依然可参见《高等代数》、《线性代数》等书目。 * $R^n$形式：对于$R^n$及其上的内积运算$A[]B[]=\sum_{i=1}^{n}{A[i]*B[i]} , i \in [1,n]$，直接代入后两边平方即得： $$ \sum_{i=1}^{n}{{a_i}^2} \sum_{i=1}^{n}{{b_i}^2} \ge {(\sum_{i=1}^{n}{a_i b_i})}^2 $$ 特别地，有： $$ \sum_{i=1}^{+\infty}{{a_i}^2} \sum_{i=1}^{+\infty}{{b_i}^2} \ge {(\sum_{i=1}^{+\infty}{a_i b_i})}^2 $$ * 定积分形式：定义$C(a,b)$为在闭区间$[a,b]$上的所有连续函数组成的集合，显然它**对加法和数量乘法封闭**（即$A+B \in C(a,b)$、$k*A \in C(a,b)$）且满足各运算律，因此$C(a,b)$是一个线性空间。在$C(a,b)$上定义内积$AB=\int_{a}^{b}{A(x)B(x)}$，则易证其满足各运算律，即$C(a,b)$对于定积分内积构成一个欧氏空间。直接代入后两边平方即得： $$ {(\int_{a}^{b}{f(x)g(x) dx})}^2 \le {\int_{a}^{b}{f^2(x) dx}} * {\int_{a}^{b}{g^2(x) dx}} $$ 柯西不等式应用广泛，本文篇幅有限，仅稍稍介绍一些。事实上，还有概率论中的柯西期望不等式……等等。 ## 后记不等式在数学中作用非凡，尤其在分析学之中（在极限之下，不等关系$|a_N-b|<e$可以视作相等关系$\lim_{n \to \infty}{a_n}=b$）。而利用分析的武器，我们还将得到更多的不等式——不等式的神奇世界奇妙无穷！事实上，对于本文中的线性空间理论，其实完全不必限于实数集中，零元素和负元素的唯一性也可证明。具体如下： * 零元素唯一性定理：设$O_1,O_2$均为零元素（即对于任意向量A，均有$O_1+A=A=O_2+A$），则$O_1=O_1+O_2=O_2+O_1=O_2$，证毕。 * 负元素唯一性定理：设$B_1,B_2$均为A的负元素（即$B_1+A=O=B_2+A$），则$B_1=B_1+O=B_1+(A+B_2)=(B_1+A)+B_2=O+B_2=B_2$，证毕。关于线性空间的具体理论还有很多，本文就不再赘述了。