微积分（1）：导数入门
houzhiyuan
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导数入门
首先，对于一个函数中的两个点，我们可以求出他们之间的平均坡度，如图：
那么，对于两个曲线接近的点，怎么求出它们之间的坡度呢？
用导数，就可以求出。
求导数
众所周知，对于函数f(x)，x与y的平均坡度为
\frac {f(y)-f(x)}{y-x}
另\Delta x=y-x。
原式变成
\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
在两个点无限接近，也就是\Delta x接近0时，如何求出值呢？
\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
=\frac {x^2+(\Delta x)^2+2x\Delta x-x^2}{\Delta x}
=2x+\Delta x
由于\Delta x趋近于0。
所以坡度就是2x，这就是f(x)=x^2的导数。
求导数的过程就是求导。
函数f(x)的一次求导结果称为f'(x)或\frac {d}{dx}f(x)。
对于f(x)=x^2，f'(x)=2x的意义是什么呢？
他表示对于f(x)的这个点，作一条这个函数的切线，它的斜率是2x。
例如下图是x=2的情况。
但对于一些特殊的点，可能无法作出这个点与函数的切线，这样的点被成为不可导，这样的点没有导数。
不可导的点有两种：
例如对于函数f(x)=|x|，函数图像为
我们发现，对于x=0，这个点没有切线，因此不可导。
例如对于函数f(x)=\frac {1}{x}，函数图像为
由于函数不连续，对于x=0没有值，因此不可导。
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