二元均值不等式

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二元均值不等式

此处特别感谢 NFGase 的提醒，修改了本文中的一个概念性错误。

基本介绍

二元均值不等式，高中数学的基本公式之一，在高中联赛中是最普通，最基础的不等式之一。

推导过程

基本知识:几何平均值(G) 和 算术平均值(C)

均值不等式的基本原理都是 Average_{Geography} \leqslant Average_{Calculate}

算数平均值:即这几个数的平均数

几何平均值: \sqrt[n]{x_1\times x_2 \times ... \times x_n}

开始推理!

证明:该证明运用反证法

\because a + b \geqslant 2\sqrt{ab} \therefore (a + b)^2 \geqslant 4ab \therefore a^2 + b^2 + 2ab \geqslant 4ab \therefore a^2 + b^2 \geqslant 2ab

此处进行补充证明: a^2 + b^2 \geqslant 2ab

\because (a-b)^2 \geqslant 0 \therefore a^2 + b^2 - 2ab \geqslant 0 \therefore a^2 + b^2 \geqslant 2ab ## 拓展知识 上面的是最简单的不等式了，下面我将给大家几个它的常用形式 $Formula1:a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ac Formula2:(a + b + c)^2 \geqslant 3(ab + bc + ac) Formula3:3(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant (a + b + c)^2 Formula4:(ab+bc+ac)^2 \geqslant 3abc(a + b + c)

这四个公式都是相互联系，可以用前面推后面的的,大家可以尝试做一做。

课后作业

1.求 f(x) = x + \frac{1}{x} (x为正整数) 的取值范围。

2. 设a,b为正整数，求证: \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geqslant \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}