高代笔记 1

KellyFrog · 2025-05-19 20:57:03 · 个人记录

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高等代数 I

第二章集合，映射与关系

2.1 集合概论

关于 ZFC 公理体系，略去。

定义笛卡尔积 \prod\limits_{i=1}^n E_i=\{(x_1,\ldots,x_n):x_i\in E_i\}，也可用映射定义。

2.2 映射的运算

定义 f:A\rightarrow B 和 g:B\rightarrow C 的复合 f\circ g:A\rightarrow C，f\circ g:x\in A\longmapsto g(f(x))，有时也记作 fg。

定义 \text{id}_E:E\rightarrow E，\text{id}_E:x\in E\longmapsto x，即自身映射。

定义 $f:A\rightarrow B$ 的左逆 $g$ 为满足 $gf=\text{id}_{A}$ 的映射；同理可以定义右逆。若左逆右逆都存在，则逆唯一，记作 $f^{-1}$。 **定理**：对于映射 $f:A\rightarrow B$，下列三个命题等价：a. $f$ 是单射；b. $f$ 有左逆；c. $f$ 满足左消去律以上没啥用。 ### 2.3 集合的积和无交并定义 $\sqcup_{i=1}^n E_i=\cup_{i=1}^n\{(x,i):x\in E_i\}$，称为无交并。 ### 2.4 序结构对于二元关系 $R\subset A\times B$，将 $(x,y)\in R$ 写为 $xRy$。预序集：定义具有以下性质的二元运算 $\preceq$ 是 $A$ 上的预序集 - $\forall x\in A$，$x\preceq x

\forall x,y,z\in A,x\preceq y,y\preceq z\implies x\preceq z

偏序集：如果 A 上的运算 \preceq 是预序集，且下列条件满足，则称 \preceq 是一个偏序集

\forall x,y,x\preceq y,y\preceq x\implies x=y

如果集合中的任两个元素都可通过 \preceq 比较大小，则称其为链。

对于一个偏序集 (A,\preceq)：

若 x\in A 满足不存在 y\in A 使得 x\prec y，则称 x 是 A 的一个最大元
若 x\in A 满足不存在 y\in A 使得 y\prec x，则称 x 是 A 的一个最小元

进一步地，设 A'\subseteq A：

若 x\in A 满足对任意 y\in A' 有 y\prec x，则称 x 是 A' 在 A 中的一个上界
若 x\in A 满足对任意 y\in A' 有 x\prec y，则称 x 是 A' 在 A 中的一个下界

良序集：若偏序集 (A,\preceq) 满足其任一子集都有极小元，则称其是良序的。（即不存在 x_1,x_2,\ldots,x_n\in A 满足 x_n\preceq x_1\preceq x_2\preceq\ldots\preceq x_n）

保序：称映射 f:A\to B 是对 \preceq 保序的当且仅当 \forall x,y\in A,x\preceq y\implies f(x)\preceq f(y)。

2.5 等价关系和商集

称 \sim\,\subseteq A^2 是 A 上的一个等价关系当且仅当且满足以下条件：

\forall x\in A$，$x\sim x
\forall x,y\in A,x\sim y\implies y\sim x
\forall x,y,z\in A,x\sim y,y\sim z\implies x\sim z

称极大的等价集合为 A 中的一个等价类。

称 A/\sim 是 A 对 \sim 的商集，其由所有等价类构成。

例：\mathbb Z/7\mathbb Z=\{\{7n+m:n\in\mathbb Z\}:m\in \{0,1,\ldots,6\}\}。

商映射即元素到对应等价类的映射。

2.6 从自然数到有理数

一般用集合论来构造自然数 \mathbb N：0:=\emptyset，n+1:=\{0,\ldots,n\}。

可以按照如下方式构造整数：注意到任意整数都能写作 n-m 的形式，其中 n,m\in\mathbb N，而 n_1-m_1=n_2-m_2\iff n_1+m_2=n_2+m_1，故可以用一 \mathbb N^2 的商集来定义整数，具体如下：

定义 (n_1,m_1)\sim (n_2,m_2)\iff n_1+m_2=n_2+m_1，容易验证这是一个等价关系，每个整数都对应了一个等价类。

进一步地，可以在其中定义加减法、乘法、大小关系。

类似地，\mathbb Z\times(\mathbb Z - \{0\}) 的一个商集来定义有理数。

容易验证有理数满足如下性质：

零元
幺元
加法结合律
加法交换律
加法逆元
乘法对加法分配率
乘法结合律
乘法交换律
乘法逆元（除零元）

后边可以发现，\mathbb Q 是一个交换环。

2.7 算数入门

关于同余，略过

2.8 同余式

关于整除、同余和积性函数，略过

2.9 集合的基数

定义集合 A 的基数为 |A|，或写作 card(A)。

|A|\le |B|,|B|\le |C|\implies |A|\le |C|
|A|=|B|\iff A\le B,B\le A

注意到集合的基数构成了一个偏序关系。

对于有限集合，如果 A 和 \{0,\ldots,n-1\} 等势，那么称 |A|=n。

|A\sqcup B|=|A|+|B|
|A\times B|=|A|\times |B|
|A^B|=|A|^{|B|}

定义集合 A 的幂集 2^A=\{A':A'\subseteq A\}。

注意到无论对于有穷或是无穷集合，|A|<|2^A|。

记 \aleph_0=|\mathbb Z|，称满足 |A|=\aleph_0 的集合是可数的（可列的）。

事实上，对于两个集合的基数 \alpha,\beta，如果其中至少有一个是无穷集合，那么 \alpha+\beta=\alpha\beta=\max(\alpha,\beta)。

第三章环、域和多项式

3.1 环和域

称 (R,+,\times,0_R,1_R) 是环当且仅当：

加法幺元（零元）：\forall x\in R,0_R+x=x
加法交换律：\forall x,y\in R,x+y=y+x
加法结合律：\forall x,y,z\in R,x+y+z=x+(y+z)
加法逆元：\forall x\in R,\exist x',x'+x=0_R
乘法幺元：\forall x\in R,1_R\times x=x\times 1_R=x
乘法结合律：\forall x,y,z\in R,x\times y\times z=x\times(y\times z)
乘法分配律：\forall x,y,z\in R,x(y+z)=xy+yz,(y+z)x=yx+zx

另外，可以推得如下性质：

加法逆元唯一：\exist! -x\in R,x+(-x)=0_R
加法满足消去律：\forall x,x',y\in R,x+y=x'+y\implies x=x'
-x=(-1)\times x
-(-x)=x

乘法逆元：若 x\in R 同时存在左逆和右逆，则其逆唯一，记作 x^{-1}。

(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}

将 R 中可逆的元素取出，可以得到集合 R^{\times}。

如果 \forall x,y\in R,xy=yx，那么称这个环是一个交换环。

在此基础上，如果 R^{\times}=R-\{0_R\}，那么称 (R,+,\times,0_R,1_R) 是域。

在环的基础上，如果 R^{\times}=R-\{0_R\}，那么称 (R,+,\times,0_R,1_R) 是除环。

若交换环满足 xy\neq 0\implies x,y\neq 0，则称其是整环。

例：求证环 (R,+,\times,0_R,1_R) 的中心 (Z(R),+,\times,0_R,1_R) 是 R 的一个子交换环，其中 Z(R)=\{x\in R:\forall y\in R,xy=yx\}。

显然 0_R,1_R\in Z(R)。
若 x\in Z(R)，那么显然 -x\in Z(R)。
若 x,y\in Z(R)，那么显然 \forall z\in R,xyz=yzx=zxy，故 xy\in Z(R)。
若 x,y\in Z(R)，那么显然 \forall z\in R,(x+y)z=xz+yz=zx+zy=z(x+y)，故 x+y\in Z(R)。

例：一个环 (R,+,\times,0_R,1_R) 的相反环 (R,+,\circ,0_R,1_R) 也是环，其中 x\circ y=y\times x。

3.2 环同态和环同构

如果存在映射 f:A\to B 满足 (A,+_A,\times_A,0_A,1_A)，(B,+_B,\times_B,0_B,1_B) 都是环，且满足如下条件，则称 f 为环同态。

\forall x,y\in A,f(x+y)=f(x)+f(y)
\forall x,y\in A,f(xy)=f(x)f(y)
f(1_A)=1_B

这蕴含了 f(0_A)=f(0_B) 且乘法、加法逆元保持不变。

例：对于 n|m，f:\mathbb Z/m\mathbb Z\to \mathbb Z/n\mathbb Z，f([x]_m)=[x]_n，同意验证这是良定义的，且 f 是一个环同态。

环同构：若环同态 f 是双射，则称其是一个环同构，记作 f:A\stackrel{\sim}{\to}B，也记作 A\simeq B。

例：中国剩余定理：设 n=n_1n_2\ldots n_k，其中 n_1,\ldots,n_k 两两互质，则存在环同构 f:\mathbb Z/n\mathbb Z\to\prod\limits_{i=1}^n\mathbb Z/n_i\mathbb Z，f:[x]_n\mapsto ([x]_{n_i})_i。

容易验证 f 是环同态，而两边的环均有 n 个元素，故只需证明 f 单，[x]_{n_i}=[y]_{n_i} 蕴含着 n_i|x-y，故而 f([x]_n)=f([y]_n)\iff \prod\limits_{i=1}^nn_i|x-y，即 [x]_n=[y]_n，即证。

例：说明扩域 \mathbb Q(\sqrt D_1) 和 \mathbb Q(\sqrt D_2) 同构当且仅当 D_1=D_2，其中 D_1,D_2 均不含非 1 平方因子。

只需证充分性。若两个环同构，则取一同构 f，那么有 D_1f(1)=f(D_1)，而 D_1f(1) 在 \mathbb Q(\sqrt D_2) 中无平方根，但 D_1 在 \mathbb Q(\sqrt D_1) 中有平方根，矛盾，即证。

3.3 多项式环

定义：对为非零环 R，定义 R 上的多项式被表示为 \sum\limits_{i=0}^{+\infty} a_ix^i，其中 \{a_n\} 只有有限项非零。显然所有定义在 R 上的多项式构成一个环，其运算在接下来定义，R 上的多项式环记作 R[x]。

- $\sum\limits_{i=0}^{+\infty}a_ix_i+\sum\limits_{i=0}^{+\infty}b_ix_i=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(a_i+b_i)x_i

(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}a_ix_i)\times (\sum\limits_{i=0}^{+\infty}b_ix_i)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(\sum\limits_{j=0}^ia_jb_{i-j})x_i

另外约定 \deg f 表示 f 的次数。

显然 R 有对 R(x) 的嵌入 a\mapsto a，若 R 是交换环，则 R(x) 也是交换环。

性质：若 R 是整环，那么 R(x) 是整环，这是由于 \deg(fg)=\deg f+\deg g。

性质：若 R 是整环，那么 R^\times =R(x)^\times。

对于多个变量的多项式，可以类似地定义多项式环 R[x,y,\ldots] 中的多项式为 \sum\limits_{a,b,\ldots\ge 0}c_{a,b}x^ay^b\ldots。

定义：对于两个 R[x_1,\ldots,x_n] 上的多项式 f=\sum\limits_{a_1,a_2,\ldots,a_n}c_{a_1,\ldots,a_n}x_1^{a_1}\ldots x_n^{a_n}，若存在 N\in\mathbb N 使得 c_{a_1,\ldots,a_n}\neq 0\iff \sum\limits_{i=1}^na_i=N，则称 f 是齐次的。

3.4 一元多项式的带余除法和根

在下文中，若无特殊说明，F 是某个域。

定理：对于 f,g\in F[x] 满足 d 非零，存在唯一的多项式 g,r 满足 \deg r<\deg d 且 f=dg+r

定义：对于 f\in F[x]，若 x\in F 满足 f(x)=0_F，那么称 x 是 f(x) 的一个根。

定理：若 f\in F[x] 有根 x_0，那么 f 有因式 (x-x_0)。原多项式对 (x-x_0) 取模立得。

定理：对于非零多项式 f\in F[x]，f 至多有 \deg f 个根（计入重根）。

3.5 从整环的分式域到有理函数域

设 R 为整环，定义在 R\times (R-\{0_R\}) 上的等价关系 \sim 如下：

(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc

容易验证这是良定义的，记 (a,b) 所在的等价类为 [a,b]，记 \text{Frac}(R)=R\times (R-\{0_R\}/)\sim，称为 R 的分式域。

类似分式的定义，可以在 \text{Frac}(R) 上定义加法和乘法：

[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]
[a,b]\times [c,d]=[ac,bd]

容易验证这是良定义的。

命题：对于整环 R 和交换环 R'，若 \varphi:R\rightarrow R' 是环同态，且 \varphi(R)\subseteq (R')^{\times}，那么存在唯一环同态 \Phi:\text{Frac}(R)\to R'，满足如下交换图表，且其必然满足 \Phi(f/g)=\varphi(f)\varphi(g)^{-1}。

有 \Phi(\dfrac f1)=\varphi(f)，那么有 \Phi(f/g)\Phi(g)=\Phi(f)，这导出 \Phi(f/g)=\varphi(f)\varphi(g)^{-1}。

容易验证上述环同态满足条件。

3.6 多项式函数

在一些情况下，可以将多项式看作函数，但映射 F:R[x_1,\ldots,x_n]\to \{\phi:R^n\to R\} 满足 F(f+g)=F(f)+F(g)，F(fg)=F(f)F(g) 不总是单射，如取 R=\mathbb F_p，其中 p 为一质数，那么有 x^p=x。

引理：F 单当且仅当 R 是无穷环。

右推左：F(f)=F(g)\iff F(f-g)=0，只需证 F^{-1}(0)=\{(0)_i\}。

若另外存在 F(f)=0，那么固定每一个主元 x_i，将 F(f) 看作 x_i 的函数，那么必然存在无穷多个根，而非零多项式至多 \deg F(f) 个根，矛盾，即证。

左推右：若 R 有限，那么考察 F(x^i)，其有无穷个映射，但总映射个数只有有限个，矛盾，即证。

定理：设 R 为无穷整环，若 f,g_1,\ldots,g_m\in R[x_1,\ldots,x_n] 满足对所有 (x_1,\ldots,x_n)\in R^n，若对于所有 i 有 g_i(x_1,\ldots,x_n)\neq 0 可以推出 f(x_1,\ldots,x_n)=0，那么 f=0。

3.7 域的特征

定理：对于环 R，存在唯一的环同态 f:\mathbb Z\to R，其为 f:n\mapsto 1_R+\ldots+1_R(n个)。

定理：对于整环 R，存在唯一的 char(R)\in\mathbb Z_{\ge 0} 满足 n\cdot 1_R=0_R\iff char(R)|n，且其要么是 0，要么是素数。

若不存在如是非 0 的 n，那么 char(R)=0 符合要求；

否则若存在两个 c_1,c_2 都满足 char(R) 的要求，容易验证 |c_1-c_2| 也满足 char(R) 的要求，这导出存在一个 c_0 使得所有满足条件的 c 都是 c_0 的倍数（辗转相减）。

对于 char(R)\neq 0 的情形，若 c=char(R) 不为素数，那么设 c=f_1f_2，其中 f_1,f_2\neq 1，那么必然有 (f_1\cdot 1_R)\cdot (f_2\cdot 1_R)=0_R，而 f_1,f_2<c，故上式两个乘数都 \neq 0_R，这和 R 是整环矛盾。

定理：若 R_0 是整环 R 的子环，那么 char(R_0)=char(R)。

显然有 char(R_0)|char(R)。对于 char(R)=0，有 char(R_0)=0，否则有 char(R_0)=1（此时 R_0 为 0 环，和整环的子环矛盾）或 char(R_0)=char(R)，即证。

定理：对于域 E,F，若 char(E)\neq char(F)，那么不存在 E 到 F 的环同态。

若 char(E)\neq 0，那么如果存在环同态 f:E\to F，有 f(0_E)=f(char(E)\cdot 1_E)=char(E)\cdot 1_F=0_F，这说明 char(F)|char(E)，但这是显然不可能的。

若 char(E)=0，那么考察 f((char(F)\cdot 1_E)^{-1})=(f(char(F)\cdot1_E))^{-1}=(0_F)^{-1} 显然不存在。

即证。

若 $char(F)=0$，那么有环同态 $f:\mathbb Q\to F$ 满足 $f:\dfrac{a}{b}\mapsto (a\cdot 1_F)\cdot (b\cdot 1_F)^{-1}$ 符合要求。若 $char(F)=p$，那么同样有环同态 $f:\mathbb F_p\to F$，满足 $f:[n]\mapsto n\cdot 1_F$ 符合要求。它们都保持加法、乘法和零元、幺元。对域 $F$ 中的 $0_R,1_R$ 进行四则运算得到的子域成为素域，其必然和 $\mathbb Q$ 或 $\mathbb F_p$ 同构。 ### 3.0 【附加内容】商环和理想每个环同态 $f:R\to S$ 都可以分解为 $f=gh$，其中 $h$ 满而 $g$ 单。只需要研究满射。引理：若存在环同态 $f:R\to S$ 是满射，那么有 $\forall s\in S,r\in f^{-1}(s)$，有 $f^{-1}(s)=r+f^{-1}(0)$，即 0 的逆加上一个偏移量。定义：定义商环 $S=R/\sim$，其中 $x\sim y\iff x-y\in f^{-1}(0)$。定义：$I\subseteq R$ 被成为理想当且仅当其： - $\forall x,y\in I$，$x+y,x-y\in I

\forall x\in I,a\in R$，$a\in R,xa\in I

理想相当于给出了 f^{-1}(0) 的值，因而划定了商集。

问题：理想满足何种条件时可以使得：

左推右：即 $\forall x\not\in I$，$\exists y\in R,st.\, xy-1\in I\implies 1\in x+I$，这说明再加入一个元素后 1 就将成为理想中的元素，因而是极大的右推左：$\forall x\not\in I$，$x+I=R$，所以 $1\in x+I$，故存在 $z$ 使得 $xy+z=1$，即证。
任意含幺交换环必然存在极大理想想（利用 Zorn 引理）

第四章向量空间和线性映射

定义域 F 上的向量空间 V\subseteq F^n 描述了一个 F 上 n 元一次齐次方程组的解集（特殊地，规定方程形如 \sum a_ix_i=0）。

在其上可以定义两种运算：

加法：(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)\overset{\text{def}}{=}(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)。
内积：(x_1,\ldots,x_n)\cdot (y_1,\ldots,y_n)\overset{\text{def}}=\sum x_iy_i。
标量乘法：t(x_1,\ldots,x_n)\overset{\text{def}}= (tx_1,\ldots,tx_n)，其中 t\in F。

4.1 回到线性方程组

和 4.2 内容基本相同，略去。

4.2 向量空间

域 F 上的 F- 向量空间，简称为向量空间，是指 (V,+,\cdot,0_V)，其中 V 是集合，加法和内积定义如上文，满足如下性质：

加法结合律
加法交换律
加法零元
加法逆元
标量乘法结合律
标量乘法单位元（1_F）
标量乘法分配律
加法、标量乘法封闭性

向量空间的直积定义同集合的直积；直和就是只有有限项非 0 的直积（？）

4.3 矩阵及运算

和一般广为人知的定义和性质相同，略去。

4.4 基和维数

定义：对于 F-线性空间 V，定义 V 中的线性组合为形如 a_1x_1+\ldots+a_mx_m，其中 a_i\in F,x_i\in V。向量空间中 S 中元素线性组合得到的元素，记作 \operatorname{span}(S)，称 S 是 \operatorname{span}(S) 的一个生成系。

定义：若 S 线性无关（不存在非平凡的 \sum a_ix_i=0 的解），记 V=\operatorname{span}(S)，则称 S 是 V 的一组基，|S| 被称作 V 的维数，记作 \dim V 或 \dim_F V。

引理：下列三个命题等价：(a) S 是 V 的极小生成系；(b) S 是 V 的一组基；(c) S 是 V 的一个极大线性无关组。

证明：

(a)\implies(b)：只需证 S 线性无关，若其线性有关，则至少可以去掉一个向量，仍是生成系。

(b)\implies(c)：由于基生成了向量空间的所有元素，因而任意向量都可以写成基的线性组合，因而再加入任一个向量都会使基线性相关。

(c)\implies(a)：加入任一个向量都会变得线性相关，这说明任一个向量都可以被写成 S 的线性组合，故 S 是 V 的生成系，如果去掉一个元素 v 仍可以生成 S，此时有 v 不能被 S 线性表示，因此 S-\{v\} 不能生成 V，因此生成系 S 是极小的。

定理：所有 F-向量空间都有基，任意线性无关子集都可以扩展为基。

定理：所有 F-向量空间的基的大小都相同，即维数唯一。

只需证下列命题：设存在基 \{v_1,\ldots,v_n\} 生成 V，那么任意 \{a_1,\ldots,a_m\} 都线性相关，其中 n<m。

注意到每个 a_i 都可以唯一 \{v_i\} 的线性组合 \sum b_{i,j}v_j，考察方程组

\begin{cases} b_{1,1}x_1+\ldots+b_{1,n}x_n=0\\ \ldots\\ b_{m,1}x_1+\ldots+b_{m,n}x_n=0\\ \end{cases}

这个方程只多有 n 个主元，由消元法给出了一组构造，使得某个方程变为全 0，因此某个方程可以被其余的表出，这说明其线性相关。

定义：如果 F-向量空间存在有限生成系，则称其是有限生成的。

事实上，F-向量空间 V 的元素并不一定是 F^n 的形式，只是 F^n 是一个典型的例子，如 \mathbb Q(\sqrt 2) 是 \mathbb Q-线性空间，此时它的维数是 2，一组基为 1,\sqrt 2。

4.5 线性变换

定义：设 V 和 W 都是 F-线性空间，称映射 T:V\to W 是线性映射当且仅当下列条件都满足：

\forall v_1,v_2\in V,T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)
\forall v\in V,t\in F,T(tv)=tT(v)

引理：线性映射的合成也是线性映射。

例题：设 V 和 W 都是 F-向量空间，证明 T:V\to W 是线性映射当且仅当图形 \Gamma_T 是直和 V\oplus W 的子空间。

左推右：注意到 \Gamma_T=\{(v,T(v)):v\in F\}，而 (v,T(v))+(w,T(w))=(v+w,T(v+w))\in\Gamma_T，t(v,T(v))=(tv,T(tv))\in\Gamma_T

右推左：(v+w,T(v)+T(w))\in \Gamma_T，这说明 T(v+w)=T(v)+T(w)，类似地，t(v,T(v))=(tv,tT(v))，于是 T(tv)=tT(v)

定义：设 V 和 W 都是 F-向量空间，对于线性映射 f:V\to W 和 g:W\to V 使得 fg=id_W，那么称 g 是 f 的右逆，f 是 g 的左逆；如果 f 左右都可逆，那么其逆唯一，记作 f^{-1}，

定理：线性映射 f 可逆当且仅当其是双射，即其是线性空间同构。

定义：设 V 和 W 都是 F-向量空间，如果存在同构 f:V\overset{\sim}{\to} W，那么称 W 是 V 的同构空间，也记作 V\simeq W。

引理：若 f:V\overset{\sim}{\to}W 是同构，那么：

\dim V=\dim W

定理：设 F-向量空间 V 的维数为 n，那么每一个 f:V\overset{\sim}{\to} F^n 都和每一组有序基一一对应。

取一组 F 的有序基 B_1,\ldots,B_n，那么 f(B_1),\ldots,f(B_n) 也是 F^n 的基，每个 v\in F^n 都可以被写成 f(B_i) 的线性组合，映 v\mapsto a_1B_1+\ldots+a_nB_n，其中 v=\sum a_if(B_i)，f 显然是双射，即证。

定义：设 V 和 W 都是 F-向量空间，定义 \text{Hom}(V,W) 表示所有 V 到 W 的线性组合（实际上就是矩阵），加法和纯量乘法定义如线性空间，乘法为映射的合成；另记 \text{End}(V)=\text{Hom}(V,V)。

4.6 从线性映射观矩阵

观察：考察一个线性映射 f:V\to W，每个 V 中的向量都可以唯一写作基的线性组合，因此如果确定了基的映射值，那么就确定了整个映射，因此每个线性映射可以看做对每个基都做一个变换，因而可以对应到一个 \dim V\times \dim W 的矩阵，加法、纯量乘法、乘法都可以对应到矩阵上来。

解线性方程组可以看作解方程 A\bold x=\bold y，消元法的初等行变换可以写作矩阵的形式，体现在等式左右两边同时乘以一个可逆矩阵，使等式变为 UA\bold x=U\bold y。

4.7 从矩阵的转置到对偶空间

定义 n 行 m 列的矩阵 A\in M_{n\times m} 的转置 A^T\in M_{m\times n} 为 m 行 n 列的矩阵，满足 A^T_{i,j}=A_{j,i}。

下面给出了转置矩阵的一些性质：

1_{n\times n}^T=1_{n\times n}
0_{n\times m}^T=0_{m\times n}
(A+B)^T=A^T+B^T
(AB)^T=B^TA^T

引理：对于 n 阶方阵 A，A 可逆当且仅当 A^T 可逆。

只需证明一边，若 A 可逆，那么 (A^{-1})^TA^T=(AA^{-1})^T=1，即证。

定义：仿照初等行变换，可以定义初等列变换（看作转置后进行初等行变换，再转置回来），三种初等行变换分别为：

第 i 行 \times c，加到第 j 行（额外给 (i,j) 加上 c）
交换两行（把两个 1 拉到相反的对角）
第 i 行 \times c（对应的 (i,i) 为 c）

行变换和列变换可以看做左、右乘初等矩阵（上述三个矩阵）

定义：设 V 为 F-向量空间，定义其对偶空间 V^{\or} = \text{Hom}(V,F)，即将行（1\times n）变成了列（n\times 1）。

定义：设 f:V\to W 为 F-向量空间上的线性映射，定义 f 的转置映射 f^T:W^{\or}\to V^{\or} 如下：f:\lambda\mapsto \lambda f，其中 \lambda f 表示 V\overset{f}{\to}W\overset{\lambda}{\to} F 的合成（相当于 f:V\to W 中所有映射对应矩阵的转置）。

性质：线性映射的转置仍是线性映射，性质仍如同矩阵，转置倒转乘法顺序。

命题：对于所有线性映射 U\overset{A}\to V\overset{B}\to W，那么有 (AB)^T=B^TA^T\in\operatorname{Hom}(W^\or,U^\or)

定义：相对于有限维向量空间 V 的基 v_1,\ldots,v_n，定义

v'_i\in V^\or:\forall x_1,\ldots,x_n\in F_n,\,v'_i\left(\sum_{k=1}^n(x_kv_k)\right)=x_k

是 v_1,\ldots,v_n 的对偶基，且他们是 V^\or 的基（注意，v'_i 是映射！）。

若 $\sum a_iv'_i=0$，那么两边都带入 $v_i$，得到 $a_i=0$，这说明 $v'_i$ 线性无关。命题：设 $V,W$ 都是有限维线性空间，$f:V\to W$ 是线性映射，对应矩阵 $A$，那么 $f^T:W^\or\to V^\or$ 对应矩阵 $A^T$。考虑 $V$ 和 $W$ 的一组有序基 $v_1,\ldots,v_n$ 和 $w_1,\ldots,w_m$，那么 $f:\sum a_iv_i\mapsto \sum a_ib_{i,j}w_j$，$f$ 对应的矩阵即为 $b$。现在考察 $W^\or$ 中的对偶基，有 $(f^T)(w'_i):v_k\mapsto w_i'(f(v_k))=w'_i(\sum b_{k,h}w_h)=b_{k,i}$，这说明 $(f^T)(w'_i)=\sum v'_jb_{j,i}$，即 $f^T$ 对应的矩阵为 $b^T$。 ### 4.8 核、像和消元法对于线性映射 $T:V\to W$，定义 $\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}$，$\operatorname{im} T=\{T(v)\in W:v\in V\}$。显然对于任意 $v\in W$，要么 $v\not\in\operatorname{im}T$，要么就是 $v_0+\ker T$，其中 $T(v_0)=v$。显然 $T$ 单的等价于 $\ker T=\{0\}$，$T$ 满等价于 $\operatorname{im}T=W$。定理：设线性映射 $T:V\to W$，$V$ 是有限生成的，那么 $\dim V=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T)$。 $\ker T$ 是 $V$ 的子空间，因而是有限生成的，取一组 $V$ 的基 $B$，那么 $T(B)$ 生成 $\operatorname{im}T$，这说明 $\operatorname{im}T$ 也是有限生成的。取一组 $\operatorname{im} V$ 的基 $T(w_1),\ldots,T(w_m)$，和一组 $\ker T$ 的基 $v_1,\ldots,v_r$，那么显然对于 $w_1,\ldots,w_m$ 和 $v_1,\ldots,v_r$，它们都线性无关，如果它们之间线性相关，那么有 $\sum a_iv_i+\sum b_iw_i=0$，那么 $T(\sum a_iv_i+\sum b_iw_i)=\sum b_i T(w_i)=0$，这是显然的矛盾。对于 $v\in V$，记 $T(v)=\sum a_iT(w_i)$，那么 $T(v-\sum a_iw_i)=0$，这说明 $v-\sum a_iw_i\in \ker T$，即 $w_1,\ldots,w_n,v_1,\ldots,v_r$ 确实是 $V$ 的一组基，即证。推论：设线性空间 $V,W$ 都是有限生成的，且 $\dim V=\dim W$，那么 $T:V\to W$ 是同构等价于 $T$ 是单的（或满的）。若 $T$ 单，那么 $\ker T=0$，即 $\dim W=\dim(\operatorname{im}T)$，这等价于 $\operatorname{im} T=W$。若 $T$ 满，那么 $\operatorname{im}T=W$，即 $\ker T=0$，这等价于 $T$ 单。定义：设 $T:V\to W$，定义 $\operatorname{rank} T=\dim(\operatorname{im} T)$，称为 $T$ 的秩。对于矩阵 $A\in M_{m\times n}$，将其看作 $A:F^n\to F^m$ 的映射，即 $\operatorname{im}A=<Ae_1,\ldots,Ae_n>$ 即 $A$ 的列向量构成的空间（称为行秩，类似地可以定义列秩）。定理：对于一个矩阵 $A$，行秩等于列秩。通过初等行变换 $P$ 和初等列变换 $Q$ 可以将 $A$ 变换为左上角为单位矩阵，那么显然有 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(PAQ)=\operatorname{rank}((PAQ)^T)=\operatorname{rank}((Q^T)^{-1}Q^TA^TP^T(P^T)^{-1})=\operatorname{rank}(A^T)

命题：对于矩阵 A\in M_{n\times n}，以下命题相互等价：

a. A 可逆。 b. 对于任意列向量 v\in F^n，有 Av=0\iff v=0 c. \operatorname{rank}A=n d. A 可以表为若干个初等矩阵的乘积

a~c 的等价性由核和像的论证给出。

(d) -> (a) 每个初等矩阵都是可逆的，因此乘积也是可逆的。

算法：矩阵求逆。对于 A\in M_{n\times n}(F)，将其增广为 (A|1_{n\times n})，随后将 A 消元为 1_{n\times n}，变为 (UA,U)，此时有 U=A^{-1}。

4.9 基的变换: 矩阵的共轭与相抵

在实际问题当中，我们通常涉及到换基，设 F-向量空间 V,W 分别有基 v_1,\ldots,v_n 和 w_1,\ldots,w_m，注意到这相当于给出了两种同构 F^n\simeq V 和 F^m\simeq W，可以用如下图表表示：

尝试换基，将基更换为 v'_1,\ldots,v'_n 和 w'_1,\ldots,w'_m，那么就相当于将 F^n 中的标准基加以变换 \varphi_1 使得 \varphi:e_i\mapsto \sum a_je_j'，其中 v_i=\sum a_jv'_j，F^m 的标准基类似。

那么有 M_{V'}^{W'}=P_{W}^{W'}M_V^M(T)P_{V}^{V'}，其中 P 是可逆矩阵，因而有 M_{V'}^{W'}=(P_{W'}^{W})^{-1}M_V^M(T)P_{V}^{V'}。

我们比较关心 V=W 的情况，此时有 M'=PMP^{-1}，这很好理解，这相当于给 M 换一个基，然后再换回来，如果把 M 当作标准基的变换，那么 M' 就可以看作以 P\times 1 为基所作的变换（右乘向量）。

定义：若 A,B\in M_{n\times n} 满足存在 P\in M_{n\times n} 使得 A=PBP^{-1}，那么称 A,B 共轭（或相似），显然共轭是等价关系。

定义：若矩阵 A,B\in M_{n\times m} 满足存在可逆矩阵 P\in M_{n\times n},Q\in M_{m\times m} 使得 B=PAQ，那么称 A,B 相抵，相抵显然构成了等价关系。

定理：A,B 相抵等价于 \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B，这里的秩先定义为行秩。

### 4.10 直和分解定义：设 $V,V_I$ 都是 $F-$向量空间，若存在同构 $\varphi:\oplus_{i\in I} V_i\overset{\sim}\to V$，$\varphi:(v_i)_i\mapsto \sum v_i$，那么称 $V_I$ 是 $V$ 的直和分解。定义：设 $V_I$ 是向量空间，定义他们的和是 $\left\{\sum v_i:v_i\in V_i\right\}$，定义：若 $V_i\cap \sum_{j\neq i}V_j=\{0\}$，那么称 $\oplus V_i$ 是内直和，之前定义的成为外直和。例：考虑向量空间 $V$ 和线性映射 $P_1,\ldots,P_s\in\operatorname{End}(V)$，其中 $P_iP_j=[i=j]P_i$，且 $\sum P_i=id$，记 $V_i=\operatorname{im}(P_i)$，证明： (a) $V=\oplus V_i$。证明：若不然，则存在 $v\neq 0$ 满足 $v\in V_i$ 且 $v\in \oplus_{j\neq i}V_j$，即 $v=P_i v_0=\sum_{j\neq i}P_j v_1$，两边取 $P_i$，可以得到 $P_iv_0=P_iP_iv_0=0$，矛盾，即证。 (b) $P_i$ 映 $v_1+\ldots+v_s\in V$ 为 $v_i$，其中 $v_j\in V_j$。证明：$P_i(v_1+\ldots+v_s)=P_iv_i$，另一方面有 $\sum P_iv_i=id(\sum v_i)$，这说明 $P_iv_i=v_i$，即证。 (c) 作为特例，说明若 $P=P^2$，则有直和分解 $V=\operatorname{im}P\oplus\operatorname{im}(id-P)$。注意到 $P(id-P)=P\cdot id-P^2=0$，即证。考察线性映射 $T:V\to W$，其中 $V$ 和 $W$ 都有直和分解 $V=V_1+\ldots+V_n$，$W=W_1+\ldots+W_m$，那么如何将 $T$ 表为 $V_i$ 和 $W_j$ 之间的映射？这是简单的，考虑将 $T$ 写成 $T:\sum_{i\in I_1}\sum_j a_{i,j}v_{i,j}\mapsto \sum_{k\in I_2}\sum_l a_{i,j}b_{i,j,k,l}w_{k,l}$，于是可以拆分成每个 $V_i\to W_j$ 的映射，那么有双射 $\operatorname{Hom}(V,W)\overset{1:1}\to \prod_{i,j}\operatorname{Hom}(V_i,W_j)$，其中 $T$ 映为 $(T_{i,j})_{i,j}$，这也可以看作是向量空间的分解（Hom 构成向量空间）。取 $W=F$，那么有 $V^\or\simeq \sum V_i^\or$（有限维）。考察 Hom 直和分解后的合成，容易验证它们还是形如矩阵乘法的形式：考虑 $T_{i,j}$ 和 $S_{i,j}$ 的复合，可以发现有 $(ST)_{i,j}=\sum S_{i,k}T_{k,j}$，这对应分块矩阵的乘法。例：设 $U$ 为 $M_{n\times n}(F)$ 的 $n+1$ 维子空间，试证明存在 $A\in U$ 且 $A\neq 0$ 不可逆。如果存在向量 $v\neq 0$ 满足 $Av=0$，那么 $A$ 不可逆。考察 $U$ 的一组基 $B_1,\ldots,B_{n+1}$，任取一个 $v\neq 0$，考察 $B_1v\ldots,B_{n+1}v$，那么其必然线性相关，故而存在 $B_iv$ 的线性组合使得 $\sum a_iB_iv=0$，取 $v=\sum a_iB_i$ 即可。 ### 4.11 分块矩阵运算具体地，分块矩阵的乘法和普通矩阵相同，只需要保证两个分块矩阵的维数对齐（对于 $AB$，$A$ 的列分块和 $B$ 的行分块相同），另外需要注意分块矩阵内部的矩阵运算没有交换律。另外有一些比较 trival 的东西，比如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵（是指分块内外而不是每一项）。对于 $V\in\operatorname{End}(F)$，假设其有分解 $V=V_1+\ldots+V_n$，那么 $V$ 是上三角等价于 $T(V_i)\subseteq V_1+\ldots+V_i$ 对所有 $i$ 都满足。这说明我们只需要找到一列 $\{0\}\subseteq V'_0\subset V'_1\subset\ldots\subset V'_n=V$，称为 $V$ 的旗（不知道有啥用）。上三角/下三角可逆等价于对叫上的矩阵都可逆（可以直接归纳，也可以用行列式解释）。 ### 4.12 商空间对于线性映射 $T:V\to W$，$v_1,v_2\in V$ 满足 $Tv_1=Tv_2$ 当且仅当 $v_1-v_2\in\ker T$，事实上，这给出了一个等价关系。定义：更一般地，在空间 $V$ 上定义等价关系 $v_1\sim_Uv_2$ 成立当且仅当 $v_1-v_2\in U$，其中 $U$ 是 $V$ 的子空间，容易验证这个等价关系是良定义的。定义：可以方便地将 $v$ 所在的等价类写成 $v+U:=\{v+u:u\in U\}$，称为 $U$ 在 $V$ 中的一个陪集，$v$ 称为陪集的一个代表元。定义：设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，定义商空间 $V/U:=\{v+U:v\in V\}$，也即 $V/\sim_U$。商空间也构成了一个向量空间，可以适当的定义其上的加法、乘法和零元： - $(v+U)+(w+U):=(u+w)+U

t(v+U)=(tv)+U
0_{V/U}:=0+U=U

加法对应着向量空间之间的加法（x+y,x\in v+U,y\in w+U），乘法则是对向量空间中的每个元素相加（tx:x\in v+U），容易验证这确实构成一个线性空间。

考虑刚刚给出的商映射 q:V\to U/V，v\mapsto v+U，这显然是线性的，且它的核 \ker q=U。

性质：\dim U+\dim V/U=\dim U，因为 \operatorname{im}q\simeq V/U，\ker q=U，即证。

定义：设 T:V\to W 是线性映射，定义余核 \operatorname{coker}(T):=W/\operatorname{im} T，于是有 \operatorname{im}T=\ker\left(W\overset{商映射}\longrightarrow\operatorname{coker}(T)\right)，T 是满的当且仅当 \operatorname{coker}(T)=\{0\}。

对于线性映射 T:V\to W 是线性映射，且 U\subseteq V，U'\subseteq W，T(U)\subseteq U'，那么存在唯一线性映射 \bar T:V/U\to W/U' 使得如下交换图表成立：

商空间实际上就是把空间（的基）去掉。

考察 V,V/U 的基 u_1,\ldots,u_n，\bar v_1,\ldots,\bar v_m，取 v_i\in q^{-1}(\bar v_i)，那么 u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m 构成 V 的基，因此商映射可以被表为一个右下的单位阵，去掉了所有 u_i 基的信息。同理取 u'_1\ldots,u'_k,v'_1,\ldots,v'_m 构成 W 的基。

事实上，T 的信息可以被拆分成 u_i\mapsto u'_i+w'_j 的信息和 v_i\mapsto v'_i 的信息，可以将 T 写成如下矩阵的形式：

命题：设 U 是 V 的子空间，记 \bar V:=V/U，商映射记为 q:V\to\bar V，那么有双射

\{W\subseteq V:U\subseteq W\}\overset{1:1}\longleftrightarrow \{\bar W\subseteq\bar V\}

其中双射分别为

W\mapsto \bar W:=q(W)\\\bar W\mapsto q^{-1}(\bar W)

命题：设 V,W 都是某一更大向量空间的子空间，则有同构 V/(V\cap W)\simeq (V+W)/W，其中同构映射映 v+(V\cap W)\mapsto v+W

这个映射显然是同态，只需要证明它是既单又满的。

考察 v+w+W\in (V+W)/W，其中 v\in W,w\in W，这相当于 v+W，于是这个映射是满的。

若 v_1+W=v_2+W，那么 v_1-v_2\in W，而若映射不单，则有 v_1+(V\cap W)\neq v_2+(V\cap W)，但由于 v_1-v_2\in V,W，这是不可能的，即证。

第五章行列式

5.1 置换概论

介绍了置换和逆序对，是广为人知的内容，略去。

5.2 几何动机：有向体积

没什么用，略去

5.3 一类交错形式的刻画

通过一些几何直观，我们可以知道有向体积 V(v_1,\ldots,v_n) 有如下性质成立：

对于任意 i\neq j 和 k\in F，V(v_1,\ldots,v_i+v_0,\ldots,v_n)=V(v_1,\ldots,v_n)+V(v_1,\ldots,v_0,\ldots,v_n)
对于任意 i 和 k\in F，V(v_1,\ldots,kv_i,\ldots,v_n)=kV(v_1,\ldots,v_n)
对于任意 i 和 v_0，V(v_1,\ldots,v_i+v_0,\ldots,v_n)=V(v_1,\ldots,v_n)+V(v_1,\ldots,v_0,\ldots,v_n)
对于 v_i=E_i，V(v_i)=1。

事实上，这些性质唯一刻画了有向体积，这被定义为行列式（determinant）。

不难导出如下性质：

交换任两个向量，行列式取反
如果向量线性相关，行列式为 0

容易验证，对向量加以置换 p，那么恰好取反 inv(p) 次

5.4 行列式的定义和基本性质

直接展开在上一章得到的性质，可以得到

\det A=\sum_{p_1,\ldots,p_n \in [1,n]}\det(\sum_{i=1}^n A_{i,p_i}E_{i,p_i})

其中 E_{i,p} 表示恰好在 (i,p) 为 1，其他都为 0 的矩阵。

于是，如果 p_i 存在相同的，则必然存在两个 A_{i,p_i}E_{i,p_i} 线性相关，行列式为 0，于是可以得到

\det A=\sum_{p\text{ is perm}}\det(\sum_{i=1}^n A_{i,p_i}E_{i,p_i})

注意到将其施以 p^{-1} 后可以得到对角矩阵，于是有

\det A=\sum_{p\text{ is a perm}}(-1)^{inv(p^{-1})}\prod_{i=1}^n A_{i,p_i}=\sum_{p\text{ is a perm}}\operatorname{sgn}(p)\prod_{i=1}^n A_{i,p_i}

这给出了行列式的完整定义。

容易验证之前给出的四条限制都满足，因此行列式是良定义的。

注意到之前的几个性质给出了所有初等变换对行列式的影响，对于初等变换矩阵 M，对任意 A 都容易验证有

\det MA=\det AM=\det A\det M

如果 A 不可逆，那么其行向量必然线性相关，由消元法可以给出某一行都为 0 的构造，因此对于 0 特征的域，有 \det A\neq 0 等价于 A 可逆。由于每个可逆矩阵都可以被表为初等矩阵的乘积，于是显然有对于任意矩阵 A,B，有

\det(AB)=\det A\det B

性质：所有共轭矩阵的行列式相同。

这是显然的，因为 \det(PAP^{-1})=\det P\det A\det P^{-1}=\det(PP^{-1})\det A=\det A。

定义：对于 A\in M_{n\times n}(F)，定义 (i,j) 的余子式为矩阵去除第 i 行和第 j 列剩余的矩阵，其行列式记为 M_{i,j}。

行列式可以按行/列展开，有：

\det A=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}

和

\det A=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{j,i}M_{j,i}

这是显然的。

性质：对于 A\in M_{n\times n}(F)，有：

\sum_{k=1}^n(-1)^{j+k}a_{i,k}M_{j,k}=0

这实际上是以下行列式的展开：

A=\left( \begin{matrix} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n}\\ \vdots & & \vdots\\ \color{red}a_{i,1} & \color{red}\ldots & \color{red}a_{i,n}\\ \vdots & & \vdots\\ \color{red}a'_{j,1}=a_{i,1} & \color{red}\ldots & \color{red}a'_{j,n}=a_{i,n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,n}\\ \end{matrix} \right)

由于两行一样，行列式显然是 0。

5.5 一些特殊行列式

记 P(\rho)_{i,j}=[\rho_i=j]，那么有 P(\rho)P(\tau)=P(\rho\tau)，且 \det P(\rho)=\operatorname{sgn}\rho

上三角/下三角的行列式由对角线的乘积给出。

命题（Vandermonde 行列式）：对于 x_1,\ldots,x_n\in F，有

\left| \begin{matrix} 1 & 1 & \ldots & 1\\ x_1 & x_2 & \ldots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1} \end{matrix} \right|=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)

把第一列消空，得到

\left| \begin{matrix} 1 & 1 & \ldots & 1\\ 0 & x_2-x_1 & \ldots & x_n-x_1\\ 0 & x_2^2-x_2x_1 & \ldots & x_n^2-x_nx_1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1 & \ldots & x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1 \end{matrix} \right|

除去第一行第一列不影响答案，随后第 i 列除以 x_{i+1}-x_1 即划归为 n-1 的问题，即证。

5.6 分块行列式

命题：上三角/下三角分块行列式等于对角线上分块矩阵的行列式的乘积。

命题：对于 A\in M_{n\times m}(F)，B\in M_{m,n}(F)，有 \det (1-AB)=\det (1-BA)。

证明：注意到

\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -A & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & B \\ A & 1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1 & B \\ 0 & 1-AB \end{matrix} \right)

同时交换 A,B 结果仍然成立，这说明 \det(1-AB)=\det(1-BA)。

5.7 Cramer 法则

命题：T\in M_{n\times n}(F) 可逆当且仅当 \det T\neq 0_F。

运用消元法即可说明。

定义：对于 A\in M_{n\times n}(F)，定义其经典伴随矩阵

A^\or_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{\color{red}{j,i}}

其中 M_{i,j} 是 (i,j) 的代数余子式。

定理：对于任意 A\in M_{n\times n}(F) 都有 AA^\or=\det A\cdot 1_{n\times n}=A^\or A。

考察 AA^\or 的 (i,j) 位置，其为：

\sum_{k=1}^n A_{i,k}(-1)^{k+j}M_{j,k}

由之前的命题，我们得到当 i\neq j 时上式为 0，当 i=j 时上式为 \det A，即证。

这给出了一种矩阵求逆的方式。

推论：考虑 F 上的线性方程组 Av=w，那么有：

(i) 如果 w=0，那么 v 的解集为 \ker A（由定义给出）

(ii) 如果 w\neq 0，那么 v 的解集形如 v_0+\ker A（由定义给出）

(iii) 如果 \det A\neq 0，那么唯一解 v 由如下公式给出：

v_i=\dfrac{ \left|\begin{matrix} A_{1,1} & \ldots & w_1 & \ldots & A_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{n,1} & \ldots & w_n & \ldots & A_{n,n} \end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix} A_{1,1} & \ldots & A_{1,i} & \ldots & A_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{n,1} & \ldots & A_{n,i} & \ldots & A_{n,n} \end{matrix}\right| }

证明：由于 A^{-1}=\dfrac{A^\or}{\det A}，所以可以写出 v=A^{-1}w 的第 i 项为：

\sum_{k=1}^n (-1)^{i+k}M_{k,i}w_k/\det A

这就相当于将第 i 列变成了 w，即得上式。

练习：证明

rk(A^\or)=\begin{cases} n & rk(A)=n\\ 1 & rk(A)=n-1\\ 0 & rk(A)<n-1 \end{cases}

考察线性无关性立得。

练习：证明 \det(A^\or)=(\det A)^{n-1}。

由 AA^\or=\det A\cdot 1_{n\times n} 左右求行列式立得。

5.8 特征多项式和 Cayley-Hamilton 定理

命题：若 T\in\operatorname{End}(V) 可逆，则存在多项式 f 使得 f(T)=T^{-1}。

考察 T^0,\ldots,T^{n^2}，其必然线性相关，因此存在某一非零多项式 f(T)=0，由于 T 可逆，因此乘上适当的 (T^{-1})^k 使得 f 有常数项，此时有 f(T)=c+Tg(T)=0，-g(T)/c 即为所求。

定义：矩阵 T 的特征多项式记作 \operatorname{Char}_T(x)=\det(1\cdot x-T)，容易发现其是首一多项式，且常数项为 \prod(-T_{i,i})。

命题：共轭的矩阵特征多项式相等。

注意到

\det(1\cdot x-PAP^{-1})=\det(P(1\cdot x-A)P^{-1})=\det(1\cdot x-A)

，即证。

命题：特征多项式转置不变（显然）。

命题：分块上三角/下三角矩阵特征多项式等于对角分块矩阵特征多项式的乘积（由分块矩阵行列式性质立得）。

命题：对于任意 A\in M_{n\times m}(F)，B\in M_{m\times n}(F)，有 x^m\operatorname{char}_{AB}(x)=x^n\operatorname{char}_{BA}(x)，特别地，当 n=m 时，有 \operatorname{char}_{AB}(x)=\operatorname{char}_{BA}(x)。

注意到

x^{-n}\operatorname{char}_{AB}(x)=\det(1-x^{-n}AB)=\det(1-(1\cdot x^{-1}\cdot A)B)=\det(1-BAx^{-m})=x^{-m}\operatorname{char}_{BA}(x)

即证。

例：给定 c_0,\ldots,c_{n-1}\in F，设

C=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & -c_0\\ 1 & 0 & \ldots & 0 & -c_1\\ 0 & 1 & \ldots & 0 & -c_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -c_{n-1} \end{matrix}\right)

那么 \operatorname{char}_C(x)=c_0+c_1x+\ldots+c_{n-1}x^{n-1}+x^n

证明：对 1\cdot x-C 按第一行展开，那么有：

\det\left(\begin{matrix} X & 0 & \ldots & 0 & c_0\\ -1 & X & \ldots & 0 & c_1\\ 0 & -1 & \ldots & 0 & c_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & -1 & X+c_{n-1} \end{matrix}\right)=X\cdot \det\left(\begin{matrix} X & \ldots & 0 & c_1\\ -1 & \ldots & 0 & c_2\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & \ldots & -1 & X+c_{n-1} \end{matrix}\right)+c_0

这递归地证明了结论。

定理（Cayley-Hamilton）：对于任意 V\in\operatorname{End}(F)，\operatorname{char}_V(V)=0。

证法 1：任意矩阵共轭于某一上三角矩阵，不妨设 W=PVP^{-1} 是上三角矩阵，由特征多项式共轭不变性，得到

\operatorname{char}_V(x)=\prod_{i=1}^n(x-W_{i,i})

带入 V=P^{-1}WP，得到

\operatorname{char}_V(V)=P^{-n}\prod_{i=1}^n(W-1\cdot W_{i,i})P^n

经过连乘的第 i 项，不存在 V_{i,j}\neq 0，因此经过对每个 i 连乘，有上式 =0，即证。

证法 2：不妨设 A 为 V 对应矩阵。

那么原命题等价于

A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\ldots+c_1)+(-1)^n\det A=0

即

A^\or=(-1)^n(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\ldots+c_1)

下面证明这个结论。

注意到

\det(1\cdot x-A)=(1\cdot x-A)(1\cdot x- A)^\or

设

(1\cdot x-A)^\or =\sum_{i=0}^{n-1}x^iD_i

那么上式展开为

c_0+c_1x+\ldots+c_{n-1}x^{n-1}+x^n=(1\cdot x-A)\sum_{i=0}^{n-1}x^iD_i

对比系数，得到

\begin{cases} D_{n-1}=1\\ -A\cdot D_{n-1}+D_{n-2}=c_{n-1}\\ \vdots\\ -A\cdot D_1+D_0=c_1\\ \end{cases}

从下到上第 i 个等式乘以 A^{i-1}，全部累加得到

D_0=c_1+A\cdot c_2+\ldots+A^{n-1}\cdot c_{n-1}

注意到又有

D_0=(-A)^\or=(-1)^{n-1}A^\or

即证。

推论：(PAP^{-1})^\or=PA^\or P^{-1}.

运用上一题的结论，记

\operatorname{char}_{A}(x)=c_0+c_1x+\ldots+c_{n-1}x^{n-1}+x^n

由于特征多项式共轭不变，有

(-1)^{n-1}(PAP^{-1})^\or =c_1+c_2(PAP^{-1})+\ldots+c_{n-1}(PAP^{-1})^{n-2}+(PAP^{-1})

同时有

(-1)^{n-1}A^\or=c_1+c_2A+\ldots+c_{n-1}A^{n-2}+A^{n-1}

即

(-1)^nPA^\or P^{-1}=c_1+c_2(PAP^{-1})+\ldots+c_{n-1}(PAP^{-1})^{n-2}+(PAP^{-1})^{n-1}

即证。

5.9 线性映射的迹

定义 tr(A)=-[x^{n-1}]\operatorname{char}_A(x)，那么有 tr(A)=\sum A_{i,i}，其有如下性质：

保持纯量乘法：tr(tA)=t\cdot tr(A)
保持共轭：tr(PAP^{-1})=tr(A)
保持轮换：tr(A_1,\ldots,A_n)=tr(A_nA_1\ldots A_{n-1})