磁介质的热力学
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科技·工程
一、磁介质的功
考虑一长 l，截面积为 A 的磁介质上绕有 N 匝线圈，其内阻可略。
改变电流大小，外界电源必须克服反向电动势做功。在 \mathrm dt 时间内：
\mathrm d W=UI\mathrm dt
其中 U 表示反向电动势，I 表示电流。
记磁介质中磁感应强度为 B，则磁通量 \Phi=AB。
\Rightarrow U=N\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(AB)
由安培环路定理：
\mathcal Hl=NI
于是
\mathrm dW=(NA\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt})(\dfrac{l}{N}\mathcal H)\mathrm dt
由 B=\mu_0(\mathcal H+\mathcal M)，有
\mathrm dW=V\mathrm d(\dfrac{\mu_0\mathcal H^2}{2})+\mu_0V\mathcal H\mathrm d \mathcal M
其中 \mu_0=4\pi\times10^7 \text H·\text m^{-1} 为真空磁导率。
上式中 V\mathrm d(\dfrac{\mu_0\mathcal H^2}{2}) 是激发磁场的功，\mu_0V\mathcal H\mathrm d\mathrm M 是使磁介质磁化所做的功。
当热力学系统只包括磁介质而不包括磁场时，功的表达式退化为：
\mathrm dW=\mu_0\mathcal H\mathrm d\mathfrak m
其中 \mathfrak m=\mathcal MV 为磁介质的总磁矩，已实现假定磁介质是均匀磁化的。
二、磁介质的态函数
如果忽略磁介质的体积变化，根据热力学第一定律，对于可逆过程：
\mathrm dU=\mathrm dQ+\mathrm dW=T\mathrm dS+\mu_0\mathcal H\mathrm d\mathfrak m
不难注意到相比于 \mathrm dU=T\mathrm dS-p\mathrm dV，只需作变换：
p\rightarrow-\mu_0\mathcal H
\\
V\rightarrow\mathfrak m
即可得到。
因此：
\begin{cases}
H=U-\mu_0\mathcal H\mathfrak m
\\
F=U-TS
\\
G=U-TS-\mu_0\mathcal H\mathfrak m
\end{cases}
\\
\begin{cases}
\mathrm dU=T\mathrm dS+\mu_0\mathcal H\mathrm d\mathfrak m
\\
\mathrm dH=T\mathrm dS-\mu_0\mathfrak m\mathrm d\mathcal H
\\
\mathrm dF=-S\mathrm dT+\mu_0\mathcal H\mathrm d\mathfrak m
\\
\mathrm dG=-S\mathrm dT-\mu_0\mathfrak m\mathrm d\mathcal H
\end{cases}
如果考虑磁介质的体积变化：
\begin{cases}
H=U+pV-\mu_0\mathcal H\mathfrak m
\\
F=U-TS
\\
G=U-TS+pV-\mu_0\mathcal H\mathfrak m
\end{cases}
\\
\begin{cases}
\mathrm dU=T\mathrm dS-p\mathrm dV+\mu_0\mathcal H\mathrm d\mathfrak m
\\
\mathrm dH=T\mathrm dS+V\mathrm dp-\mu_0\mathfrak m\mathrm d\mathcal H
\\
\mathrm dF=-S\mathrm dT-p\mathrm dV+\mu_0\mathcal H\mathrm d\mathfrak m
\\
\mathrm dG=-S\mathrm dT+V\mathrm dp-\mu_0\mathfrak m\mathrm d\mathcal H
\end{cases}
三、磁介质的麦克斯韦关系
如果忽略体积变化：
\begin{cases}
\Big( \dfrac{\partial T}{\partial \mathfrak m} \Big)_S=\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathcal H}{\partial S} \Big)_\mathfrak m
\\
\\
\Big( \dfrac{\partial T}{\partial \mathcal H} \Big)_S = -\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathfrak m}{\partial S} \Big)_\mathcal H
\\
\\
\Big( \dfrac{\partial S}{\partial \mathfrak m} \Big)_T = -\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathcal H}{\partial T} \Big)_\mathfrak m
\\
\\
\Big( \dfrac{\partial S}{\partial \mathcal H} \Big)_T = \mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathfrak m}{\partial T} \Big)_\mathcal H
\end{cases}
如果考虑体积变化：
\begin{cases}
\Big( \dfrac{\partial p}{\partial \mathfrak m} \Big)_{S,V}=-\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathcal H}{\partial V} \Big)_{S,\mathfrak m}
\\
\\
\Big( \dfrac{\partial V}{\partial \mathcal H} \Big)_{S,p}=-\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathfrak m}{\partial p} \Big)_{S,\mathcal H}
\\
\\
\Big( \dfrac{\partial p}{\partial \mathfrak m} \Big)_{T,V}=-\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathcal H}{\partial V} \Big)_{T,\mathfrak m}
\\
\\
\Big( \dfrac{\partial V}{\partial \mathcal H} \Big)_{T,p}=-\mu_0\Big( \dfrac{\partial \mathfrak m}{\partial p} \Big)_{T,\mathcal H}
\end{cases}
参考资料
[1]刘玉鑫.热学[M].北京:北京大学出版社,2016(4)
[2]王志诚.热力学·统计物理[M].北京:高等教育出版社,2013(1)