柯西不等式
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柯西不等式
在求二元（或多元）代数式最值或者二元（或多元）不等式的证明的题目中，巧用柯西不等式会比较方便快捷
二维形式：
对于任意实数 a、b、c、d，则
\color {Red}(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2
当且仅当 ad=bc 时成立。
拓展形式
设 n\geq 2 是正整数且 x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n\in \mathbb{R}，则有：
\color {Red}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n{x_i^2})(\sum_{i=1}^n{y_i^2})\geq (\sum_{i=1}^n{x_iy_i})^2}
当且仅当 \dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=\ldots=\dfrac{x_n}{y_n} 时取到等号。