P4305

rack · 2022-09-27 15:38:05 · 个人记录

概率统计

第二章：随机变量及其分布

1. 离散型随机变量分布

1. 几何分布：p_k=p(X=k)=p(1-p)^{k-1},记作X\sim G(p)
2. 超几何分布：p_k=\frac{C_m^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n},记作X\sim H(n,m,N)
3. 二项分布：p_k=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}，记作X\sim B(n,p)
4. 柏松分布：p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，记作X\sim P(\lambda)，由松柏定理，二项分布可由柏松分布近似，\lambda=np

2. 连续型随机变量分布

1. 均匀分布：记作X\sim U(a,b)

2. 指数分布（连续后的几何分布，都满足无记忆性）：

   f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\gt0\\0,&x\le0\end{cases}

   记作X\sim e(\lambda)

3. 1. $\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx,\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha),\Gamma(1)=1,\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi
   2. f(x)=\begin{cases}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},&x\gt0\\0,&x\le0\end{cases}

      记作X\sim \Gamma(\alpha,\beta)

4. 已知X\sim f_X(x),Y=g(X),求f_Y(y):

   1. F_Y(y)=P(g(X)\le y)=\int_{g(X)\le y}f_X(x)dx
   2. f_Y(y)=F'_Y(y)
   3. 若g单调，且反函数为\phi(y),则f_Y(y)=f_X(\phi(y)))|\phi'(y)|

第三章：多个随机变量联合分布

1. p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)
2. 边缘分布列：p_X(x)=\sum_{y}p_{X,Y}(x,y),p_Y(y)=\sum_xP_{X,Y}(x,y))