浅谈抛物线焦点弦

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whk选手来营业了

0.前言

圆锥曲线问题中，我们经常会碰见形如求圆锥曲线与一直线的弦长的问题

然后为了寻求一般性的答案，我们往往会尝试推导其公式

而椭圆已经有一个有用的式子： \sqrt{1+k^2}|x_2-x_1|

于是我们考虑抛物线是否也有形如这样的公式；而抛物线的焦点是一个有用的条件，于是我们来考虑抛物线的焦点弦

1.正文

如图，已知抛物线方程为：y^2=2px ，直线 l 过抛物线焦点，与 x 轴的夹角为 \theta 。

求：直线 l 与抛物线的弦。

首先我们很套路化的用定义将这条弦转化：

记 |AA_1|=y ， |BB_1|=x

则 F 到准线的距离为 p ，y>p>x

|AB|=|AF|+|BF|=|AA_1|+|BB_1|=x+y

因为直线与 x 轴夹角为 \theta ，则：

|CF|=\dfrac{|FF_1|}{\cos\ \theta}=\dfrac{p}{\cos\ \theta}$ ，$|CB|=\dfrac{|BB_1|}{\cos\ \theta}=\dfrac{x}{\cos\ \theta}$ ，$|CA|=\dfrac{|AA_1|}{\cos\ \theta}=\dfrac{y}{\cos\ \theta}

然后我们考虑如何用 p 来表示 x ：

\dfrac{p}{\cos\ \theta}=|CF|=|BC|+|BF|=|BC|+|BB_1|=\dfrac{x}{\cos\ \theta}+x

两边同乘 {\cos\ \theta} : p = x(1+\cos\ \theta)，x=\dfrac{p}{1+\cos\ \theta}

我们发现，这个表达式是很优美的，于是我们再考虑如何用 p 来表示 y ：

\dfrac{y}{\cos\ \theta}=|AC|=|AF|+|BF|+|BC|=y+x+\dfrac{x}{\cos\ \theta}

两边同乘 {\cos\ \theta} : y = y\cos\ \theta+x(1+\cos\ \theta)，y(1-\cos\ \theta)=x(1+\cos\ \theta)=p，y=\dfrac{p}{1-\cos\ \theta}

故我们要求的答案：|AB|=|AF|+|BF|=x+y=\dfrac{p}{1+\cos\ \theta}+\dfrac{p}{1-\cos\ \theta}=\dfrac{p(1-\cos\ \theta)+p(1+\cos\ \theta)}{1-\cos^2\ \theta}=\dfrac{2p}{\sin^2\ \theta}

2.补充

part 1：

很多题目要求的是一些奇怪的限制中的最值问题，那么按照套路我们就应该设斜率为 k

然后我们把斜率 k 和 \cos^2\ \theta 建立起关系：斜率 k 的一种直观表达就是 x 轴每增加 1 个单位，y 轴就增加 k 个单位。那么我们把它放在坐标系上，就得到了一个三边长分别为：1 ，k ，\sqrt{1+k^2} 的三角形。故 \sin^2\ \theta=(\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}})^2=\dfrac{k^2}{1+k^2}

于是弦长为 \frac{2p(1+k^2)}{k^2}

根据题目条件，解出 k 的取值范围以及一些其他限制，讨论最值即可。然后记得特别讨论斜率不存在的情况

part 2：

《金版学案》里有一个证明题：\dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|}=\dfrac{2}{p}

把 x=\dfrac{p}{1+\cos\ \theta}，y=\dfrac{p}{1-\cos\ \theta} 代入，可得：

\dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|}=\dfrac{1+\cos\ \theta}{p}+\dfrac{1-\cos\ \theta}{p}=\dfrac{2}{p}

这个命题没有啥实际的应用，所以放在最后。不过对于一些要求证明恒等式的题来说，确实可以暴力将 x 和 y 代入，因为斜率 k 和抛物线的 p 都是很重要的条件。

part 3：

应评论区再证一下面积

首先我们有 \begin{cases}x=\dfrac{p}{1+\cos\ \theta}\\y=\dfrac{p}{1-\cos\ \theta}\end{cases} ，为了方便区分，我们记 A(x_0,y_0),B(x_1,y_1) ，故 \begin{cases}x_0=\dfrac{p}{1-\cos\ \theta}-\dfrac{p}{2}\\x_1=\dfrac{p}{1+\cos\ \theta}-\dfrac{p}{2}\end{cases}

\begin{aligned} S\triangle AOB &= \frac{1}{2}OF\times(y_0-y_1) \\ &=\frac{1}{2}\times \frac{p}{2}\times((k\times x_0+b)-(k\times x_1+b)) \\ &=\frac{p}{4}\times k(x_0-x_1) \\ &= \frac{p}{4}\times k(\dfrac{p}{1-\cos\ \theta}-\dfrac{p}{1+\cos\ \theta}) \\ &= \frac{p}{4}\times k(\dfrac{2p\cos\ \theta}{1-\cos^2\ \theta}) \\ &= \dfrac{kp^2\cos\ \theta}{2\sin^2\ \theta} \end{aligned}

这个式子并不优美，于是我们考虑进一步化简

由 \text{part 1} 的 \sin^2\ \theta=\dfrac{k^2}{1+k^2}，得

\begin{aligned} \\& \sin^2\ \theta=\dfrac{k^2}{1+k^2} \\& \sin^2\ \theta(1+k^2)=k^2 \\& \sin^2\ \theta=k^2- k^2\sin^2\ \theta \\& \sin^2\ \theta=k^2(1-\sin^2\ \theta) \\& k^2 = \dfrac{\sin^2\ \theta}{cos^2\ \theta} \end{aligned}

由于 S\triangle AOB 一定是正的，所以 k = \dfrac{\sin\ \theta}{cos\ \theta}

故

\begin{aligned} S\triangle AOB &= \dfrac{kp^2\cos\ \theta}{2\sin^2\ \theta} \\ &= \dfrac{\dfrac{\sin\ \theta}{cos\ \theta}p^2\cos\ \theta}{2\sin^2\ \theta} \\ &= \dfrac{p^2}{2\sin\ \theta} \end{aligned}

写的比较繁琐是因为能让 whk 同学看懂

3.后记：

这个小结论自己推一下并不复杂，且实际意义个人认为还是有的（特别是 |AF|，|BF| 的表达式）

做小题的时候可以用来节省时间，但是做大题算弦长的时候建议不要用来写过程（除非是证明恒等式类的题），毕竟写个证明画个图会浪费不少时间。当然想要在考场上用出来就意味着平时写作业的时候也要尝试用这种方法来做小题，保证正确率与效率。

新人写手不会用几何画板，wtcl，争取下次给大家带来更好的阅读体验qwq