CMO 2022 第二天 试题

周子衡 · 2022-12-30 13:42:49 · 个人记录

题 4 求最小的正整数 n\geq 3，使得平面上存在 n 个点 A_1,A_2,...,A_n，满足：

• 对任意正整数 i(1\leq i\leq n)，存在正整数 j 满足 1\leq j\leq n，j\neq i，且线段 A_iA_{i+1} 的中点在线段 A_jA_{j+1} 上。这里认为 A_{n+1}=A_1。

题 5 证明：存在正实数 C，使得对任意由正整数构成的无穷等差数列 a_1,a_2,...，如果 a_1,a_2 的最大公因数无平方因子，则存在正整数 m\leq C\cdot a_2^2 使得 a_m 无平方因子。这里，一个数无平方因子，当且仅当它不是任意大于 1 的平方数的倍数。

题 6 有 n(n\geq 8) 座机场，有若干单向航线连接这些机场。对任意两座机场 a,b，至多存在一条单向航线从 a 出发到达 b；可能同时存在从 a 到 b 和从 b 到 a 的航线。已知：对任意由若干机场组成的集合 A(1\leq |A|\leq n-1)，存在至少 4\min\{|A|,n-|A|\} 条航线从 A 中的机场出发并到达一个不在 A 中的机场。

证明：对任意机场 x，可以从 x 出发，连续搭乘不超过 \sqrt{2n} 次航班并回到 x。