高斯的算数秘诀

今天我们来聊聊等差数列与等比数列。

等差数列我们初中就玩过，但是我们学了数列以后，要用数列的语言整理等差数列。等比数列有的初中也讲过，我们也来整理一下。

等差数列的定义与通项

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

首项为a_1，公差为d的等差数列\{a_n\}的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d,n\in\mathbb{N}^*。

等差数列的通项公式可以写成

a_n=d\cdot n+a_0

为关于n的一次多项式或常数。

首项为a_1，公差为d的等差数列的前n项和

S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot d=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n

等差数列求和公式的推导用到的方法称为倒序相加法，利用了等差数列的性质——对称互补性。

等差数列\{a_n\}的前n项和S_n公式可以写成

S_n=\dfrac{d}{2}\cdot n^2+a\cdot n

其中d为\{a_n\}的公差，a=a_1-\dfrac{d}{2}，可以视为待定系数由a_1=S_1确定。利用等差数列前n项和公式的结构特征可以快速写出等差数列的前n项和。

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示，显然q\ne0。

首项为a_1，公比为q的等比数列\{a_n\}的通项公式为a_n=a_1\cdot q^{n-1},n\in\mathbb{N}^*。

等比数列的通项公式可以写成

a_n=a_0\cdot q^n

为关于n的类指数函数。

关于等比数列还剩下等比数列的前n项和与差比数列的求和，~~你也懂的嘛~~，作者一天打三篇文章挺累的了，所以这些下次再更~今天我们就聊到这里。

高中数学总览\dfrac{1}{2}大庆！