题解 GDFZOJ 【646】 01背包

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这是一道Dp的模板题，也没什么好说的，直接开始吧

一、审题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品所占空间是C_i，价值是W_i。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

数据范围：0 \le V \le 1000,0\le N\le 100,0 < C \le 1000,0 < W \le 100

似乎并没有什么关键点，粗略判断时间复杂度，emm······，O(NV)是可以过的，那就往这方面想吧

二、做题

0、贪心

若果你还没学过Dp，就很容易会想到用贪心来做这道题，设一个数组sum_i=\dfrac{W_i}{C_i}，然后优先但是就会出现一个很大的问题：假设我们背包的容量C=10，有以下三个物品 物品编号 A B C
C 6 5 5
W 9 6 6
Sum 1.5 1.2 1.2

根据以上的贪心策略，我们应该是要选A的，但是我们发现同时选B和C的话得到的价值会更大呀，贪心思想不能从大局考虑，所以必须要用Dp

1、背包

既然确定了是动规，那就可以愉快地开始推式子啦

让我假设现在的背包的容量C=10；

物品编号 物品重量 物品价值
1 5 20
2 6 10
3 4 12

我们用v[i]表示物品价值，w[i]表示物品重量，再首先定义状态 dp[i][j]以j 为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值，那么 i=1的时候，放入的是物品1，这时候肯定是最优的啦！

那考虑一下当前容量j，如果 j<5，那么肯定就不能放，所以dp[1][j]=0(j<5)；那如果 j>5，那就可以放进去了的呀，所以dp[1][j]=20(j>=5)；

接着 i=2i=2 放两个物品，求的就是 dp[2][j] 了，当 j<5 的时候，是不是同样的 dp[2][j](j<5)=0；那当 j<6 是不是还是放不下第二个，只能放第一个；

那 j>6 呢？是不是就可以放第二个了呢？是可以，但是明显不是最优的，用脑子想了一下，发现 dp[2][j](j>6)=20，这个 20怎么来的呢，当然是从前一个状态来的（注意这里就可以分为两种情况了）：一种是选择第二个物品放入，另一种还是选择前面的物品；

我们假设j=10，这时候：dp[2][10]=max((dp[1][10-w[2]])+v[2],dp[1][10])也就是dp[2][10] = max(dp[1][4])+10,dp[1][10])

是不是很明显了呢，dp[1][4]+10是选择了第二个，于是容量相应就减少成 4，之前已经得出 dp[1][4]=0，就是说选了物品2，物品1就选不了了；dp[1][10]是不选择第二个，只选择第一个dp[1][10]是等于20的，于是得出dp[2][10]=20

到这里就可以了，依次类推，动态转移方程为

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]])+v[i],dp[i-1][j]

但是好像还有一些问题没考虑完.........

2、需要单独考虑的问题

看回例子：

物品编号 物品重量 物品价值
1 5 20
2 6 10
3 4 12

我们知道dp[1][j](j<5)=20，那么dp[2][j](j=5)的时候是多少呢？我们看到动态转移方程并没有考虑 j<w[i] 的情况，但是我们可以加进去，由于我们可以看出来dp[2][5]=5，为什么？因为不能选第二个，只能选第一个，所以dp[2][5]=dp[1][5]了！所以当j<w[i]的时候，dp[i][j]=dp[i-1][j]就好了，是不是很神奇呢?

3、一维优化

我们刚是用二维来存状态的，那可不可以压缩到一维呢？

答案是可以的，其实我们发现上面的i是可以省去的，但这个时候就会有人说了：物品会重复放入。所以重点就是，一维内层循环要倒着来！不然会重复放入

三、代码

1、二维数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[105],val[105];
int dp[105][1005];
int main()
{
    int t,m,res=-1;
    scanf("%d%d",&t,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=t;j>=0;j--)
    if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i],dp[i-1][j]);
    else dp[i][j]=dp[i-1][j];
    printf("%d",dp[m][t]);
    return 0;
}

2、一维数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int aa[1000001],bb[1000001],f[1000001];
int a,b,c,d;
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    for(int i=1;i<=b;++i) scanf("%d%d",aa+i,bb+i);
    for(int i=1;i<=b;i++)
    {
        for(int j=aa[i];j<=a;j++)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-aa[i]]+bb[i]);
        }
    }
    printf("%d",f[a]);
}

完美撒花！！！