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从开普勒定律开始，不妨尝试在不借助微元法的情况下尽可能地推导公式。

首先有运行速度。vr\sin\theta 是恒定的，同时也有 T=\frac{\pi ab}{vr\sin\theta}，这是开二。

然后有周期，\frac{a^3}{T^2} 只与 M 有关。这是开三。

由圆轨道 G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}r 及 T=2\pi\frac rv，可知 \frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}。

最后还有机械能守恒，\frac12mv^2-G\frac{Mm}r 是恒定的。

容易发现，上述式子中 m 都是没用的，因为假设有两个行星共享一个轨道，可以简单地看作一个行星是两个的质量之和，并没有区别。因此 m 的大小不重要也无法求出。

简单梳理一下，现在有几个方程，一个关于两组某时刻的状态，一个关于一组某时刻状态以及 a,b,T，一个关于 a,T,M，一个关于一组某时刻状态以及 M。

然而，实际情况中，大多只会遇见两个特殊状态，即近日点与远日点，不妨记作 v_-,r_- 与 v_+,r_+。

那么可以有方程：

\begin{cases} v_-r_-=v_+r_+\\ 2a=r_-+r_+\\ a^2-b^2=(a-r_-)^2=(r_+-a)^2\\ T=\frac{\pi ab}{v_-r_-}=\frac{\pi ab}{v_+r_+}\\ 4\pi^2a^3=GMT^2\\ \frac12v_-^2-G\frac M{r_-}=\frac12v_+^2-G\frac M{r_+} \end{cases}

以上方程含有八个变量，可以做到知三求五。