【数据结构】【模板】并查集和带权并查集

SunnyYuan · 2023-08-15 15:33:57 · 个人记录

很久以前的学习笔记，拉出来翻新一下

本文的重点是带权并查集。

并查集是算法竞赛中常用的一种数据结构。

它可以高效地处理集合之间的操作与询问。

其主要功能是查询两个元素是否在同一个集合以及将两个集合合并。

第一部分 并查集的基本操作

算法思想

1. 我们将所有元素建成很多棵树（森林），每一棵树就是一个集合。

2. 因为并查集是一个树结构，那么每个节点都有一个指针指向父节点。

3. 最开始时，每个元素就是一个独立的集合，每个元素各为一棵树且自己就是根及自己指向自己。

4. 当我们要查询两个元素是否在同一个集合时，可以判断它们是否在同一棵树上，即只要判断它们所在树的根相同与否就可以了。 比如下图 2, 3 有相同的根 1，它们便在一个集合，但是 2, 9 分别拥有根 1, 7，不在同一个集合。

5. 当我们要合并两个集合时，只要两棵树合并即可，即只要把两棵树的根节点连接起来就可以了。

算法优化（路径压缩）

我们发现，如果建出来的树长这样：

多次查找非常费时间，因为每次都可能要从最下面跑到最上面。

因为它们都是一个集合的，不在乎它在集合中的顺序或位置，所以我们可以把树变成这样：

即每次查询一个元素在哪一个集合的时候顺便把它接在根节点上。

下面我们通过例题讲讲如何实现该数据结构。

例题

例题1：P3367 【模板】并查集

题目描述

思路

模板题，将上面讲述的思路应用到代码中即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n, m;
int fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]); // 将根节点直接作为 x 点的父亲节点
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    fa[fx] = fy;                // 将两个根节点合并
}

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;// 初始化
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    init();
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        if (x == 1) merge(y, z);
        else {
            if (find(y) == find(z)) cout << "Y\n";
            else cout << "N\n";
        }
    }
    return 0;
}

例题2：HDU 1213 How many tables

题目描述

思路

将认识的人合并为一个集合，最后查找有多少个集合即可。

查询集合数量有两种方法：

方法1：等所有操作进行完成以后，我们可以查询有多少棵树，也就是查找有多少个根；

方法2：我们定义 cnt 初始值为 n，当合并两个不同的集合时，cnt 就可以 -1，代表两个集合合并，集合数量少了一个。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int fa[N];

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
}

int find(int u) {
    if (u == fa[u]) return u;
    return fa[u] = find(fa[u]);
}

void merge(int a, int b) {
    int fx = find(a), fy = find(b);
    if (fx != fy) fa[fx] = fy;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> m;
        int cnt = n;
        init();
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            if (find(x) != find(y)) cnt--;  // 方法2统计结果
            merge(x, y);
        }
        cout << cnt << '\n';
    }

    return 0;
}

例题3：P3958 [NOIP2017 提高组] 奶酪

题目描述

思路

如果两个圆的中心相距不超过 2R，R 为半径，那么就将两个洞合并为一个集合；

如果一个圆的中心与上下表面相距不超过 R，那么就将洞与上下表面合并；

最后看看上下表面受否在同一个集合，如果在同一个集合，那么一定可以从下表面走到上表面。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
double h, r;

struct pos {
    double x, y, z;
} p[N];

int fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    fa[fx] = fy;
}

double dis(int v1, int v2) {
    double x = p[v1].x, y = p[v1].y, z = p[v1].z;
    double a = p[v2].x, b = p[v2].y, c = p[v2].z;
    return sqrt((x - a) * (x - a) + (y - b) * (y - b) + (z - c) * (z - c));
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> h >> r;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i].x >> p[i].y >> p[i].z;
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++) fa[i] = i;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (dis(i, j) <= 2 * r) {
                    merge(i, j);
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (p[i].z <= r) merge(0, i);
            if (p[i].z >= h - r) merge(n + 1, i);
        }
        if (find(0) == find(n + 1)) cout << "Yes\n";
        else cout << "No\n";
    }
    return 0;
}

例题4：P1111 修复公路

题目描述

思路

我们将所有公路按照修复完成时间从小到大排序，

然后一个一个合并过去，表示公路修好后将两个村庄可以通车，成为一个集合，

如果什么时候合并到只有一个集合时，那个时间点就是答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

struct road {
    int x, y, t;
} r[N];

int n, m;
int fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

int merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return 0;
    fa[fx] = fy;
    return 1;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> r[i].x >> r[i].y >> r[i].t;
    sort(r + 1, r + m + 1, [](const road a, const road b) { return a.t < b.t; });           // 按照修复完成时间从小到大排序

    int cnt = n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x = merge(r[i].x, r[i].y);
        cnt -= x;
        if (cnt == 1) {     // 只有一个集合
            cout << r[i].t << '\n';
            return 0;
        }
    }
    cout << -1 << '\n';
    return 0;
}

第二部分 带权并查集

算法思路

即为树上的每一条边赋上一个权值，比如边的长度，维护该节点与父节点的关系。

相应的，当我们进行路径压缩的优化时，我们发现所有的节点都接到根上去了，那么这时每一条边也自然而然地变成了维护该节点与根节点的关系。

比如权值是是长度时，我们要根据路径压缩的结果对路径权值进行更新：

路径压缩时更新权值

还是路径长度的例子（如上图），

当我们的父节点 f 已经被成功合并到根节点时，

我们自然而然地想到如何更新子节点 x 的距离信息，

看下面的图可以帮助理解

有 d[x] = d[x_原] + d[f]，