浅谈相对论

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I. 时间究竟有多长？

想象一下，在一个列车月台之前，站着一个人甲。甲正在注视着从他面前驶过的一辆列车。列车上有一个垂直于地面、朝向天花板的手电筒。在甲看到它的瞬间，手电筒发射出一个光子。 光子在列车中显然走的是一条垂直的直线。但在甲眼里呢？光子走过的是一个直角三角形的斜边。 显然，光的速度是不变的。但甲看到的路程却更长，这说明什么？ 这说明，在甲的视角中，同样的过程花费了更长的时间——也就是说，列车的时间流速相对于月台发生了"膨胀"。

光子走过的是一个直角三角形的斜边。

I.1 数字不会撒谎

让我们算一笔账。

假设列车用内的光用时为 \Delta t，列车高度为 h 那么 \Delta t=\dfrac{h}{c}。

假设甲眼里的光用时为 \Delta t' 那么他眼里列车走过的路程也就是直角三角形的底边为 v\Delta t'，v 为列车速度。

根据万能的勾股定理我们可以列出如下方程：

\begin{matrix} (c\Delta t')^2=h^2+(v\Delta t')^2\\ c^2(\Delta t')^2=h^2+v^2(\Delta t')^2\\ c^2(\Delta t')^2-v^2(\Delta t')^2=h^2\\ (\Delta t')^2(c^2-v^2)=h^2\\ (\Delta t')\sqrt{c^2-v^2}=h\\ \Delta t'=\dfrac{h}{\sqrt{c^2-v^2}}\\ \Delta t'=\dfrac{h / c}{(\sqrt{c^2-v^2})/ c}\\ \Delta t'=\dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/ c^2}}\\ \end{matrix}

定义洛伦兹因子 \gamma= \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/ c^2}}。于是我们得到了独属于这个宇宙的时间汇率。

那么我们将运动者的时间 \times\gamma 得到观察者的时间。观察者的时间 / \gamma 也可以得到运动者的时间。

那么如果列车的速度到达了 80 \% 光速。也就是 \gamma = \dfrac{1}{1-\sqrt{0.64/1}}=\dfrac{1}{0.6}。所以如果我们坐在这个列车上，我们可以把一天 24 个小时当 40 小时用。轻松成为“时间管理大师”

I.2 质疑的声音

现在假设甲依旧没有移动。而他的双胞胎兄弟乙乘坐飞船前往宇宙进行了一场酣畅淋漓的旅行，在到达某颗恒星后马上掉头赶回地球看甲，那么这个时候这两个兄弟哪个更年轻呢？以甲的视角来看，乙的速度很快，\gamma 自然也不小，所以乙回来的时候肯定更年轻了。而乙看到甲站在地球上以很快的速度远离自己，那是不是也应该比自己年轻呢？那两者不可能同时比对方年轻。这个时候矛盾就发生了，难道此前所有的推导都是错的？

让我们代入数据仔细把这笔账算清楚。

我们假设乙从地球出发，到达离地球 4 \text{ly} 远的行星（地球测量的距离）后回来找甲。速度为 0.8c。

如果以甲的视角，在不算时间膨胀的情况下，乙走完单程需要 \dfrac{4ly}{0.8c}=5y 的时间。那么一来一返就是 10y，考虑时间膨胀效应，我们在刚刚算出来洛伦兹因子为 \dfrac{1}{0.6}，那么一套这个时间就是 \dfrac{10y}{\gamma}=6y，也就是说经过甲的计算，甲自己老了 10 岁，而乙只老了 6 岁。乙更年轻。

而以乙的视角，首先第一个改变是本来的路程 4 ly 会直接缩短。因为在甲眼里，乙花的时间为 4 ly/0.8c=5年，但是在乙眼里，行星以 0.8c 的速度向乙飞来，也就是说行星在飞过来的过程中也会时间膨胀，那么我们令行星飞过来的时间为 T 则有 T=\dfrac{5y}{\gamma} 那么实际的距离为 0.8c \times \dfrac{5y}{\gamma}=\dfrac{4ly}{\gamma}=2.4ly 那么所需时间为 \dfrac{2.4ly}{0.8c}=3y，所以甲实际经过的 3\gamma=1.8y。此时你是不是懵逼了：甲花了 5 年时间你这怎么就过了 3 年？但当乙到达目标行星转身的那一瞬间，他发现参考系的从原来的“以 0.8c 的速度远离地球”的参考系变成了“以 -0.8c 的速度靠近地球”的参考系。这一变不得了，经过乙的重新计算，甲的年龄变成了 8.2 岁！（要用到待定系数法推这个公式，推导略）而返回的时间与出发一致为 3 y。由于甲在乙的参考系下也在运动，而总共经过了 8.2y+1.8y=10y。乙经过了 3y+3y=6y。你发现一个惊人的事实——帐对上了！所以这个问题得以解决，乙比甲年轻。

所以，问题的关键就在掉头那一刹那——他切换参考系导致他眼里的“甲现在”往前推进了大量的时间长度。正是这一次“时间跳跃”（公式\dfrac{2vL}{c^2}），平衡了时间的矛盾，也让乙回来的时候确实比甲年轻。

这个结论已经被无数实验证实：时间膨胀不是幻觉，高速运动的物体确实经历更少的时间。就像《星际穿越》里那样，库珀在黑洞附近待了几小时，地球上却已经过了几十年——当他返回时，女儿已经垂垂老矣，而他依然年轻。

II. 广义相对论与引力真正的来源

如果说人类有一个巨大的相册，里面存放着我们历史上的每一张照片，那么下面的这一张“日食照片”则是其中影响力排名前3的：


1919年日全食，爱丁顿拍下这张照片时，他可能还没意识到——自己正在给牛顿的棺材钉上最后一颗钉子。

这张照片本身没有亮点，但他的主体是周围的星星。你可能会问：星星有什么稀奇的？稀奇的是，这些星星的位置，和晚上看见的不一样。

光在经过太阳的时候，弯了。

II.1 光为什么会偏折

如果牛顿还在世，那么他会这么回答：“因为光是粒子，有质量，故在经过太阳时受到万有引力的作用发生偏折。”他甚至早在1704年就提出过这个猜想，甚至算出来光线经过太阳会旋转 0.87''。

但爱丁顿算出这里的角度是 1.75''，大了整整1倍。

所以牛顿的万有引力体系在宇宙的宏观角度下，失效了。

爱因斯坦提出了一种说法。

根据牛顿第一定律，物体本身在空间中呈静止或匀速直线运动。但是有质量物体在空间中会使其周围空间发生一定程度的扭曲。


有质量物体在空间中会使其周围空间发生一定程度的扭曲。

而引力，就是这条直线在弯曲的时空中相应的被扭曲成的结果。

同时简单想一下，空间扭曲后光化一样的时间走过更长的路程故时间流速自然变慢。

但是这个理论无法解释地球上出现的重力。

故这里需要更多的修正。

我们的时间是沿着正方向持续流动的。这赋予我们在四维空间中不变的移动速度。

但是随着离地心的距离越近，时间流速越慢。

所以这个速度差会使我们向低时间倾倒。

这就能解释为什么苹果会从树上掉落、一般情况下的物体不会悬浮在地球的大气中的原因。

但是这一部分属于广义相对论，其推导属于一些高维空间和非欧几何体系中的演算。故详细计算略。