运动周期的积分反演

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运动周期问题

已知一维势场 V 中的经典粒子，质量为 m，做能量为 E 的运动时周期为 T(E)，有能量守恒有：

T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{\sqrt {2m}\cdot\mathrm dx}{\sqrt {E-V}}

其中 x_1=x_1(E) 和 x_2=x_2(E) 为运动边界。

反演

首先有一个积分式：

\int_{E}^{L}\frac {\mathrm da} {\sqrt{(L-a)(a-E)}}=\pi

也就是说，F(L;x)=\frac 1 \pi (L-x)^{-\frac 1 2} 与 G(E;x)=(x-E)^{-\frac 1 2} 互为卷积逆元（根号里为负数则认为函数值取 0）

那么，不妨假设能量最小值为 0，有：

\begin{aligned} \int_{0}^{L}\frac 1 {\sqrt {2m}}\cdot\frac {T(E)\mathrm dE}{\sqrt{L-E}}&=\int_{0}^{L}\frac {\mathrm dE}{\sqrt{L-E}}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\mathrm dx}{\sqrt {E-V}}\\ &=\int_{x_1}^{x_2}\int_{V(x)}^{L}\frac {\mathrm dE}{\sqrt{(L-E)(E-V)}}\mathrm dx\\ &=\int_{x_1(L)}^{x_2(L)}\pi\mathrm dx \end{aligned}

于是，有最终结论：

x_2-x_1=\frac 1 {\pi\sqrt {2m}}\int_{0}^{L}\frac {T(E)\mathrm dE}{\sqrt{L-E}}

作为一个扩展，取 T=T_0 为常量，且 V(-x)=V(x)，则有：

x_2(L)-x_1(L)=\frac 1 {\pi\sqrt{2m}}\int_{0}^{L}\frac {T_0\mathrm dE}{\sqrt{L-E}}=\frac 2 {\pi\sqrt{2m}} T_0 \sqrt L 2x_1=\frac 2{\pi\sqrt{2m}} T_0 \sqrt V V=\frac{2m\pi^2}{T_0^2} \cdot x^2

也就是说：等周期的一维对称振动一定是简谐振动。