【讨论】关于一个和式求法的思考

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本人已经有一段时间没怎么搞 OI 数学，再加上本身水平不高，勿喷（

昨天在 UOJ 群看到有群友问一个题，原题记不清了，稍作转化就是求：

\sum_{i=0}^n \frac{n^{\underline i}}{n^i}i

我的处理方法是设

f(z)=\sum_{i=0}^n n^{\underline i}z^i

这样只需要求 f'(1/n)/n 即可，而 f(z) 显然是微分有限的，它满足 ODE：

(1-nz)f(z)+z^2f'(z)=1

代入 z=1/n，带 f(z) 的项恰好消掉，得到答案为 n。

感觉这个方法还是有些取巧，不知道有没有老哥知道些相关资料，比如更通用的方法。