余弦定理补证

· · 算法·理论

已知：在 \triangle ABC 中，三个顶点的对边分别为 a, b, c.

求证：\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

三角函数法

证明：过 A 作 AD \bot\ BC，则 CD = b \times \cos C，

$\because$ $AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2 \therefore$ $c^2$ $-$ $($ $a$ $-$ $b$ $\times$ $\cos C$ $)$ $^2$ $=$ $b^2$ $-$ $($ $b$ $\times$ $\cos C$ $)$ $^2 c^2 - a^2 + 2ab$ $\times$ $\cos C$ $-$ $b^2$ $\times$ $\cos^2 C$ $=$ $b^2$ $-$ $b^2$ $\times$ $\cos^2 C 2ab$ $\times$ $\cos C$ $=$ $a^2 + b^2 - c^2 \therefore$ $\cos C$ $=$ $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

向量法

定义三角形边上的向量 \overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{AB} 分别为 \overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}.

\therefore$ $\overrightarrow{c}$ $=$ $\overrightarrow{a}$ $-$ $\overrightarrow{b} \therefore$ $\overrightarrow{c}^2$ $=$ $($ $\overrightarrow{a}$ $-$ $\overrightarrow{b}$ $)$ $\times$ $($ $\overrightarrow{a}$ $-$ $\overrightarrow{b}$ $) =$ $\overrightarrow{a}^2$ $-$ $2 \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$ $+$ $\overrightarrow{b}^2 =$ $a^2$ $-$ $2ab$ $\times$ $\cos C$ $+$ $b^2 \therefore$ $c^2$ $=$ $a^2$ $-$ $2ab$ $\times$ $\cos C$ $+$ $b^2 a^2$ $+$ $b^2$ $-$ $c^2$ $=$ $2ab$ $\times$ $\cos C \therefore$ $\cos C$ $=$ $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}