【笔记】二维凸包
AgrumeStly
2020-06-30 21:59:40
$\color{#3498db}\bf[upd2021.03.19]$
# Part -999 感谢列表
（排名不分先后）
- [计算几何「OI-Wiki」](https://oi-wiki.org/geometry/)
- [数论小白都能看懂的平面凸包详解 「ShineEternal的博客」](https://www.luogu.com.cn/blog/ShineEternal/convex-hull)
- [几何画图「GeoGebra」](https://www.geogebra.org/geometry) 离线版
- 感谢@rui_er 指出了一个错误
- 感谢@MicroMaker hack，指出了错误
# Part 1 前言
**限于笔者能力有限，本学习笔记如有错误，并非有意，非常欢迎指出。**
$\color{#3498db}\footnotesize\bf[upd2021.03.19]$ **本文章所有图片均为 sm.ms 图床，并无问题。建议使用 Chrome 或 Firefox 观看。**
$\color{#3498db}\footnotesize\bf[upd2021.03.21]$ $\footnotesize\color{red}\textsf{\textbf{作者在 Firefox，Chrome，Edge 均已测试图片无任何问题。}}$
# Part 2 何为计算几何
学二维凸包，我们首先需要了解的就是计算几何。
计算几何，就是利用计算机建立数学模型解决几何问题。
要用电脑解几何题？数学好的同学们笑了。
我们并不是用计算机算数学卷子上的几何题去了，而是解决一些更加复杂的几何相关问题。
为了解决复杂且抽象的问题，我们一定要选择合适的研究方法。对于计算机来说，给它看几何图形……
# Part 3 二维凸包
### Part 3.1 凸多边形
凸多边形是指所有内角大小都在 $[0, \pi]$ 范围内的 **简单多边形** 。
### Part 3.2 凸包
「
在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。
其定义为：对于给定集合 $X$ ，所有包含 $X$ 的凸集的交集 $S$ 被称为 $X$ 的 **凸包** 。
$\qquad\qquad$ —— OI-Wiki
」
其实我们可以把凸包看成一个拿橡皮筋围成的一个图形。
假设有一个布满小凸起的板子：
我们要把这些凸起都围起来，怎么围呢？
显然，最简单方便的方法是这样：
但是，我们知道，橡皮筋是有弹力的，所以橡皮筋会往里缩，直到这样：
最外圈的凸起撑起了橡皮筋。
此时橡皮筋围成的多边形的顶点就是最外圈凸起所在的位置。
由此，我们就定义橡皮筋围成的图形为一个平面凸包。
那么，换一种定义，就为：
**平面凸包是指覆盖平面上 $n$ 个点的最小的凸多边形。**
当然，我们发现在程序中却无法模拟橡皮筋收缩的过程，于是有了下文的诞生。
### Part 3.3 二维凸包的求法
在这里我们只讲两种主要的也是最常用的二维凸包的求法。
#### Part 3.3.1 Graham 算法
Graham 算法的本质：
Graham 扫描算法维护一个凸壳，通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响凸性的点，最后形成凸包。
凸壳：凸包的一部分。
此算法主要分为两部分：
- 排序
- 扫描
##### Part 3.3.1.1 排序
我们先选择一个 $y$ 最小的点（如 $y$ 相同选 $x$ 最小），记为 $p_1$。
剩下的点，按照极角的大小逆时针排序，记为 $p_2,p_3,\dots, p_m$。
##### Part 3.3.1.2 扫描
（下列所说的左右等是指以上一条连线为铅垂线，新的连线偏移的方向）
刚开始，我们的点集是这样的：
$p_1$ 为起始点。
随后，$p_2$ 准备入栈，由于栈元素很少，所以可以入栈。
再看 $p_3$，因为 $p_3$ 向左，符合凸包条件，入栈。
随后 $p_4$ 也一切正常，依然向左，入栈。
$p_5$ 依然向左，入栈。
到 $p_6$ 时，我们发现了点问题，就是不再是向左了，而是向右了，所以我们此时要将 $p_5$ 出栈，$p_6$ 入栈。
入栈后，我们发现，相对于 $p_4$，$p_6$ 依然是向右的，所以我们还要把 $p_4$ 出栈，$p_6$ 入栈。
接下来 $p_7$ 没有问题。
$p_8$ 时，我们发现，也是向右的，所以将 $p_7$ 出栈，$p_8$ 入栈。
接下来 $p_9$ 正常，入栈。
最后，我们再把最后一个点和第一个点连起来。
此时，我们的 Graham 算法的全过程就结束了。
时间复杂度为 $O(n \log n)$。
#### Part 3.3.2 Andrew 算法
Graham 算法的一种进阶。
假设我们有这些点：
首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。
相对于 Graham 算法来说，Andrew 算法排序更简单，按 $x, y$ 坐标排序，时间复杂度也更低（一般的坐标系中排序方法）。
首先将 $p_1$ 入栈。
然后也将 $p_2$ 入栈，$p_2$ 可能在，也可能不在，等着之后判断。
随后，发现 $p_3$ 偏右，所以我们将 $p_2$ 出栈。
发现 $p_4$ 依然偏右，$p_3$ 出栈，$p_4$ 入栈。
$p_5$ 向右，$p_4$ 出栈，$p_5$ 入栈。
$p_6$ 向左，入栈。
$p_7$ 向右，$p_6$ 出栈，$p_7$ 入栈。
$p_8$ 向右，$p_7$ 出栈，继续检查发现相对于 $p_5$ $p_8$ 仍然向右，$p_5$ 出栈，$p_8$ 入栈。
此时，我们发现，凸包空了一半。
所以我们需要再从排序末尾的点（也就是 $p_8$）出发，按照一模一样的方式再算一遍就行了。
当然如果我们走过的点就不许要再走了（除了 $p_1$）.
从 $p_8$ 到 $p_7$，向左，$p_7$ 入栈。
$p_6$ 向右，$p_7$ 出栈，$p_6$ 入栈。
$p_5$ 向左，入栈。
$p_4$ 向左，入栈。
$p_3$ 向右，$p_4$ 出栈，对于 $p_5$ $p_3$ 依然向右，$p_5$ 出栈，$p_3$ 入栈。
$p_2$ 向右，$p_3$ 出栈，$p_2$ 入栈。
最后将 $p_2$ 和 $p_1$ 连起来。
至此，我们的 Andrew 算法就完成了！
时间复杂度：$O(n \log n)$
### Part 3.4 实战演练
#### Part 3.4.1 [P2742 [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows /【模板】二维凸包](https://www.luogu.com.cn/problem/P2742)
先拿模板题练练手。
题目简述：求一个二维凸包的周长。
拿 Graham 算法做即可。
```cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#define line cout << endl
using namespace std;
const int NR = 1e5 + 5;
int n;
double ans;
struct point {
double x, y;
};
point p[NR], ps[NR];
double dis (point pa, point pb) { //求两点间距离
return sqrt ((pb.x - pa.x) * (pb.x - pa.x) + (pb.y - pa.y) * (pb.y - pa.y));
}
double cp (point pa1, point pa2, point pb1, point pb2) { //求叉积
return (pa2.x - pa1.x) * (pb2.y - pb1.y) - (pb2.x - pb1.x) * (pa2.y - pa1.y);
}
bool cmp (point px, point py) { //排序
double num = cp (p[1], px, p[1], py);
if (num > 0) return true;
if (num == 0 && dis (p[0], px) < dis (p[0], py)) return true;
return false;
}
int main () {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> p[i].x >> p[i].y;
if(i != 1 && p[i].y < p[1].y) { //去重
swap (p[i].y, p[1].y);
swap (p[i].x, p[1].x);
}
}
sort (p + 2, p + n + 1, cmp);
ps[1] = p[1]; //最低点是肯定在凸包里的
int h = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
while (h > 1 && cp (ps[h - 1], ps[h], ps[h], p[i]) <= 0) { //判断是向左还是向右，如果向右就出栈
h--;
}
h++;
ps[h] = p[i];
}
ps[h + 1] = p[1]; //最后一个点跟第一个点相连
for (int i = 1; i <= h; i++) {
ans += dis (ps[i], ps[i + 1]); //累加
}
printf ("%.2lf\n", ans);
return 0;
}
```
$\color{#3498db}\footnotesize\bf[upd2021.03.19]$
发现本代码被 hack 了？为什么？
我们分析，按照这种算法，那么在所有点都在一条线的时候就会出问题，无法回到起点，那么我们只需特判一下即可。
#### Part 3.4.2 [UVA11626 Convex Hull](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11626)
这题好像拿 Graham 会 TLE？拿 Andrew罢，也是道模板题。
```cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#define line cout << endl
using namespace std;
const int NR = 1e5 + 5;
const double eps = 1e-7;
int n;
struct point {
double x, y;
point () {}
point (double a, double b) : x (a), y (b) {}
bool operator < (const point &b) const {
if (x < b.x) return 1;
if (x > b.x) return 0;
return y < b.y;
}
point operator - (const point &b) {
return point (x - b.x, y - b.y);
}
};
point p[NR], sp[NR];
int cmp (double x) {
if (fabs (x) < eps) return 0;
return x > 0 ? 1 : -1;
}
double dis (point a, point b) {
return sqrt ((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
double cp (point a, point b) {
return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
int Andrew () {
sort (p + 1, p + 1 + n);
int len = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (len > 1 && cmp (cp (sp[len] - sp[len - 1], p[i] - sp[len - 1])) < 0)
len--;
sp[++len] = p[i];
}
int k = len;
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
while (len > k && cmp (cp (sp[len] - sp[len - 1], p[i] - sp[len - 1])) < 0)
len--;
sp[++len] = p[i];
}
return len;
}
int main () {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
cin >> n;
char c;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> p[i].x >> p[i].y >> c;
int t = Andrew();
cout << t - 1 << endl;
for (int i = 1; i < t; i++)
printf ("%.0lf %.0lf\n", sp[i].x, sp[i].y);
}
return 0;
}
```
----
The End...