题解 P3387 【模板】缩点

· · 题解

大致浏览了一下，似乎在缩点这一块几乎没有跟我的做法相似的……

于是发了个题解，讲一讲我的教练教给我的做法吧。

如果这个图是一个有向无环图（DAG），则可以用动态规划的思想进行求最长路。但，这是一张图，说明其中有环，这就比较麻烦了。

于是，我们要把环缩成一个点，这样就可以跑 DAG 了。于是，我们想要的就是：缩点。

首先介绍几个概念：

对于这道题，我们只要把强连通分量缩成一个点就行了，因为这两个点可以互相到达，在这当中选任意一个点，结果也一样。

那，如何求强连通分量呢？

我们进行 dfs，定义每个点有三个状态：没搜索（0），搜索中（正），搜索完（负）。如果在搜索的过程中，搜到了正在搜索的点，说明它们可以互相到达，属于同一个强连通分量（重点！）。

把它们合并在一个强连通分量里？想到了并查集！

我们可以用并查集维护它们缩成的点，一开始每个点都是一个强连通图，即 f[i] = i。在搜索时，如果遇到没搜索的点，就继续搜；如果遇到搜索完的点，就不需再搜了；如果遇到一个搜索中的点，就用并查集合并。

但，这里要注意，合并时必须是先搜到的点为祖先节点（重点！），如果用后搜到的点作为祖先节点，那么后搜的搜完后，强连通分量就搜完了，答案就不准确。

具体代码如下：

void dfs(int u){
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
        int v = e[i].v;
        if(!vis[v]){//如果没搜索
            vis[v] = vis[u] + 1;//记录“深度”
            dfs(v);//继续搜
        }
        int fu = anc(u), fv = anc(v);//anc 是并查集函数
        if(vis[fv] > 0){//一定要是搜索中的
            if(vis[fu] < vis[fv]) f[fv] = fu;
            else f[fu] = fv;//注意这里，深度小的为祖先节点
        }
    }
    vis[u] = -1;//标记搜索完
    return;
}

接着，我们再把缩完的点的权值更新一下，更新方法就是把自己的权值加在祖先节点上。

然后，我们重新建图，如果原来一条边上的两个点的祖先节点不属于同一个强连通分量，那么就把这两个祖先节点连一条边，同时记录入度。

最后跑一遍 toposort 就行了，toposort 的话其它题解都有提到，这里就不再赘述了。

下面放一下 AC 代码：（较完整注释）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100010
struct edge{
    int u, v, nxt;
}e[N];
queue <int> q;
int head[N], cnt, n, m, x, y, vis[N], f[N], c[N], s[N], r[N], ans = 1, W[N];
inline void add(int u, int v){
    e[++cnt].u = u;//注意要把 u 也给加上，后面需要调用
    e[cnt].v = v;
    e[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}
int anc(int x){
    if(x == f[x]) return x;
    return f[x] = anc(f[x]);
}//并查集模板
void dfs(int u){
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
        int v = e[i].v;
        if(!vis[v]){//如果没搜索
            vis[v] = vis[u] + 1;//记录“深度”
            dfs(v);//继续搜
        }
        int fu = anc(u), fv = anc(v);//anc 是并查集函数
        if(vis[fv] > 0){//一定要是搜索中的
            if(vis[fu] < vis[fv]) f[fv] = fu;
            else f[fu] = fv;//注意这里，深度小的为父亲
        }
    }
    vis[u] = -1;//标记搜索完
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = i, scanf("%d", W + i);
    for(int i = 1; i <= m; ++i){
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        if(!vis[i]){//如果这个点还没搜索就要继续搜
            vis[i] = 1;
            dfs(i);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) c[anc(i)] += W[i];//缩点权值处理
    memset(head, 0, sizeof(head));
    cnt = 0;//这里要清零哦-v-
    for(int i = 1; i <= m; ++i){
        x = f[e[i].u], y = f[e[i].v];//由于在上面已经全部遍历过 anc 函数了，这里直接调用即可
        if(x != y) add(x, y), r[y]++;//不在一个强连通分量就连边
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        if(i == f[i] && !r[i]) q.push(i), s[i] = c[i];
    }//s[i] 是 dp 数组
    while(!q.empty()){
        int u = q.front(); q.pop();
        for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
            int v = e[i].v;
            s[v] = max(s[v], s[u] + c[v]);
            if(--r[v] == 0) q.push(v);
        }
        ans = max(ans, s[u]);
    }//toposort 模板
    printf("%d", ans);
    return 0;
}