【文化课游记第二期】三元苯环取代
Lavaloon
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学习·文化课
\text{XYZ} 取代苯环：
令 G=\{不动,旋转 \ 60^\circ,旋转 \ 120^\circ,旋转\ 180^\circ,旋转\ 240^\circ,旋转\ 300^\circ,\\关于两顶点对称(3\ 种)，关于两对称的边的中点连线对称(3\ 种)\}.
故 |G|=12.
不动点只有 g=不动 的时候有，|X^g|=6\times5\times4=120.
由 Burnside 引理，|X/G|=\dfrac{120}{12}=10.
\text{XXY} 取代苯环：
令 G=\{不动,旋转 \ 60^\circ,旋转 \ 120^\circ,旋转\ 180^\circ,旋转\ 240^\circ,旋转\ 300^\circ,\\关于两顶点对称(3\ 种)，关于两对称的边的中点连线对称(3\ 种)\}.
故 |G|=12.
不动点在 g=不动 的时候有：|X^g|=6\times\dfrac{5\times4}{2}=60.
不动点在 g=关于两顶点对称(3\ 种) 的时候有：3|X^g|=3\times4=12.
由 Burnside 引理，|X/G|=\dfrac{60+12}{12}=6.
\text{XXX} 取代苯环：
令 G=\{不动,旋转 \ 60^\circ,旋转 \ 120^\circ,旋转\ 180^\circ,旋转\ 240^\circ,旋转\ 300^\circ,\\关于两顶点对称(3\ 种)，关于两对称的边的中点连线对称(3\ 种)\}.
故 |G|=12.
不动点在 g=不动 的时候有：|X^g|=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20.
不动点在 g=旋转 \ 120^\circ 的时候有：|X^g|=2.
不动点在 g=旋转 \ 240^\circ 的时候有：|X^g|=2.
不动点在 g=关于两顶点对称(3\ 种) 的时候有：3|X^g|=3\times4=12.
由 Burnside 引理，|X/G|=\dfrac{20+2+2+12}{12}=3.