卡特兰(Catalan)数入门详解
Morning_Glory
2019-10-27 15:49:50
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# 基本概念
## 介绍
学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点,因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么,而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数
这里,我对卡特兰数做一点自己的理解
卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列,它并没有一个具体的意义,却是一个十分常见的数学规律
对卡特兰数的初步理解:有一些操作,这些操作有着一定的限制,如一种操作数不能超过另外一种操作数,或者两种操作不能有交集等,这些操作的合法操作顺序的数量
为了区分组合数,这里用$f_n$表示卡特兰数的第$n$项
从零开始,卡特兰数的前几项为$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790\ldots$
## 定义
**递归定义**
$f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+\ldots+f_{n-1}f_{0}$,其中$n\geq 2$
**递推关系**
$f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}$
**通项公式**
$f_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}$
经化简后可得
$f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$
只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系,那么你就已经解决了这个问题,因为他们都是卡特兰数列
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# 实际问题
先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数
去掉了所有的掩饰,将问题直接写出来就是
## 例题1
在一个$w\times h$的网格上,你最开始在$\left(0,0\right)$上,你每个单位时间可以向上走一格,或者向右走一格,在任意一个时刻,你往右走的次数都不能少于往上走的次数,问走到$\left(n,m\right),0\leq n$有多少种不同的合法路径。
**合法路径个数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$**
直接求不好,考虑求有多少种不合法路径
路径总数为在$2n$次移动中选$n$次向上移动,即$C_{2n}^{n}$
画一下图,我们把$y=x+1$这条线画出来,发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的,碰到即说明是一条不合法路径
先随便画一条碰到这条线的不合法路径,所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点,我们把第一个交点设为$\left(a,a+1\right)$
如图
![p1.png](https://i.loli.net/2019/10/27/iIJshRU9zLlxdkT.png)
我们把$\left(a,a+1\right)$之后的路径全部按照$y=x+1$这条线对称过去
这样,最后的终点就会变成$\left(n-1,n+1\right)$
![p2.png](https://i.loli.net/2019/10/27/HV3XhLzdfZYQySl.png)
由于所有的不合法路径一定会与$y=x+1$有这么一个交点
我们可以得出,所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到$\left(n-1,n+1\right)$的路径
且所有到$\left(n-1,n+1\right)$的一条路径都唯一对应着一条不合法路径(只需将其对称回去即可)
所以不合法路径总数是$C_{2n}^{n-1}$
那么合法的路径总数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$
这是一个非常好用且重要的一个方法,其它的问题也可以用该方法解决
即**找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径**
如[网格计数](https://blog.csdn.net/Morning_Glory_JR/article/details/102689403)
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## 方法
先将方法写在前面吧
相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧
和学习数学一样,**转化**是基本思路,将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的
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## 01序列
你现在有$n$个$0$和$n$个$1$,问有多少个长度为$2n$的序列,使得序列的任意一个前缀中$1$的个数都大于等于$0$的个数
例如$n=2$时
有$1100,1010$两种合法序列
而$1001,0101,0110,0011$都是不合法的序列
**合法的序列个数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$**
我们把出现一个$1$看做向右走一格,出现一个$1$看做向上走一格,那么这个问题就和上面的例题$1$一模一样了
**拓展**
如果是$n$个$1,m$个$0$呢?
不过是最后的终点变为了$\left(n,m\right)$罢了
如果是$1$的个数不能够比$m$少$k$呢
我们只需将$y=x+1$这条线上下移动即可
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## 括号匹配
你有$n$个左括号,$n$个右括号,问有多少个长度为$2n$的括号序列使得所有的括号都是合法的
**合法的序列个数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$**
要使所有的括号合法,实际上就是在每一个前缀中左括号的数量都不少于右括号的数量
将左括号看做$1$,右括号看做$0$,这题又和上面那题一模一样了
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## 进出栈问题
有一个栈,我们有$2n$次操作,$n$次进栈,$n$次出栈,问有多少中合法的进出栈序列
**合法的序列个数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$**
要使序列合法,在任何一个前缀中进栈次数都不能少于出栈次数$\ldots$
后面就不用我说了吧,和上面的问题又是一模一样的了
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## 312排列
一个长度为$n$的排列$a$,只要满足$i<j<k$且$a_j<a_k<a_i$就称这个排列为$312$排列
求$n$的全排列中不是$312$排列的排列个数
答案也是卡特兰数
我们考虑$312$排列有什么样的特征
如果考虑一个排列能否被$1,2,3,\ldots,n-1,n$排列用进栈出栈来表示
那么$312$排列就是所有不能被表示出来的排列
那么这个问题就被转化成进出栈问题了
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## 不相交弦问题
在一个圆周上分布着 $2n$个点,两两配对,并在这两个点之间连一条弦,要求所得的$2n$条弦彼此不相交的配对方案数
当$n=4$时,一种合法的配对方案为如图
![p3.png](https://i.loli.net/2019/10/27/p4J29VyRCmh3HeP.png)
**合法的序列个数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$**
这个问题没有上面的问题那么显然,我们规定一个点为初始点,然后规定一个方向为正方向
如规定最上面那个点为初始点,逆时针方向为正方向
然后我们把一个匹配第一次遇到的点(称为起点)旁边写一个左括号$($,一个匹配第二次遇到的点(称为终点)旁边写一个右括号$)$
如图
![p4.png](https://i.loli.net/2019/10/27/aBr4gXwisvD2FPE.png)
看出来吗,在规定了这样的一个顺序后,在任意一个前缀中起点的个数都不能少于终点的个数
于是这又是一个卡特兰数列了
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## 二叉树的构成问题
有$n$个点,问用这$n$个点最终能构成多少二叉树
答案仍然是卡特兰数列
这个问题不是用上面的方法,是用递归定义的卡特兰数
一个二叉树分为根节点,左子树,右子树
其中左子树和右子树也是二叉树,左右子树节点个数加起来等于$n-1$
设$i$个点能构成$f_i$个二叉树
我们枚举左子树有几个点可得
$f_n=f_0*f_{n-1}+f_{1}*f_{n-2}+\ldots+f_{n-1}*f_{0}$
这个和卡特兰数列的递归定义是一模一样的
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## 凸多边形的三角划分
一个凸的$n$边形,用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形,每条直线不能相交,问一共有多少种划分方案
答案还是卡特兰数列
我们在凸多边形中随便挑两个顶点连一条边,这个凸多边形就会被分成两个小凸多边形,由于每条直线不能相交,接下来我们就只要求这两个小凸多边形的划分方案然后乘起来即可
和二叉树的构成问题一样,我们枚举大凸多边形被分成的两个小凸多边形的大小即可
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## 阶梯的矩形划分
一个阶梯可以被若干个矩形拼出来
图示是两种划分方式
![p5.png](https://i.loli.net/2019/10/27/yMGSp5iAqHD7Z4F.png)
![p6.png](https://i.loli.net/2019/10/27/tWAF31cKVupyfb9.png)
像下图是不合法的划分方式
![p7.png](https://i.loli.net/2019/10/27/fDbcpUwJzx7gTdQ.png)
问,一个$n$阶矩形有多少种矩形划分
答案仍然是卡特兰数列
我们考虑阶梯的每个角
如图
![p8.png](https://i.loli.net/2019/10/27/H9G2B1z5cYU7bKF.png)
每个角一定是属于不同的矩形的,我们考虑和左下角属于一个矩形的是哪个角
这个矩形将这个梯形又分成两个小梯形,如图
![p9.png](https://i.loli.net/2019/10/27/yrAhkUb9K2qsXp4.png)
于是我们又可以写出递推式了
和卡特兰数列的递归式是一样的
卡特兰数就讲这么多吧